线性动态规划：带权图最短路径与关键子工程求解

线型动态规划是算法专项练习中的一个重要部分，主要应用于解决带权有向的多段图问题以及多阶段最优化决策问题。这些问题的核心在于找到从起点（如A点）到终点（如D点）的最短路径或者完成一系列任务的最短时间。线型动态规划通常涉及以下概念： 1. **定义**： - F(i) 表示从起点A到达节点i的最短距离或成本，例如F(A)=0，F(B1)=5，F(B2)=2等。 - 通过状态转移方程，如F(C1)=min{F(B1)+3}, F(C2)=min{F(B1)+2,F(B2)+7}，递推计算每个节点的最优值。 2. **决策过程**： - 题目中提到的问题可以分解为多个阶段，每个阶段基于前一阶段的最优决策来计算。这种递推性质使得问题可以通过选择最优策略形成一个决策序列，最终确定一条最优路线。 3. **最优性原理与无后效性原则**： - 最优性原理强调整个过程的最优决策会确保剩余部分也是最优的。 - 无后效性原则指出，一旦进入某个阶段，后续步骤不受之前阶段历史的影响，只依赖于当前状态。 4. **关键子工程问题**： - 涉及到工程项目的最短时间问题，需要考虑子工程的依赖关系和并发性。 - 定义F[I]表示完成子工程I的最早时间，动态规划方程为F[I]=MAX{F[J]}+A[I，J]，其中A[I，J]代表从J到I的花费。 5. **有向图的关键路径分析**： - 如果图可进行拓扑排序，意味着存在解决方案；否则，没有可行路径。 - 通过拓扑排序确定工程的完成顺序，并利用动态规划求得工程的总完成时间。 - 关键路径的识别依赖于F序列和拓扑序列，若两个相邻子工程的完成时间差等于它们之间的直接花费，这两个工程都是关键工程。 6. **时间复杂度**： - 动态规划方法的时间复杂度通常与问题规模和状态的数量相关，对于N个子工程的问题，虽然N≤200，但具体复杂度仍需根据实际问题规模和算法实现来评估。 总结来说，线型动态规划是通过分解问题、迭代求解和优化策略来处理带权有向图的最短路径问题以及关键子工程问题的一种有效方法。理解和掌握这些概念和方法对于解决这类实际问题至关重要。