移位Jacobi多项式法求解变分数阶非线性微分-积分方程的高精度数值解

本文主要探讨了如何利用Jacobi多项式求解一类变分数阶非线性微积分方程的数值解。变分数阶微积分是一种新兴的研究领域，它扩展了传统微积分理论，允许对时间或空间变化的非整数阶进行处理，这在许多工程和物理问题中具有广泛的应用。文章的核心思想是通过移位的Jacobi多项式逼近方程中的函数，这些多项式因其良好的逼近性质和易于操作而被选择。 作者首先介绍了一种基于Captuo类型变分数阶微积分定义的方法，这种方法定义了新的微积分算子矩阵，使得原本复杂的非线性微积分方程可以被转换为矩阵乘法的形式。这种转换简化了求解过程，使得问题可以从连续域转换到离散域，便于数值计算。具体步骤包括： 1. 函数逼近：通过移位的Jacobi多项式将原方程中的函数近似，这些多项式以其特性（如正交性和权重函数）适应非线性函数的复杂性。 2. 微积分算子矩阵：根据变分数阶微积分的定义，推导出与移位Jacobi多项式相关的微积分算子矩阵，这个矩阵在变换过程中起关键作用。 3. 方程转化：通过离散化，将原微积分方程转化为一组非线性方程组，每个方程对应一个多项式的系数。 4. 数值求解：通过求解这个非线性方程组，得到移位Jacobi多项式的系数，从而获得原方程的数值解。 5. 验证与评估：最后，作者通过比较数值解与精确解以及计算绝对误差，证明了这种方法的高精度和有效性。这一步对于确保数值方法的可靠性和稳定性至关重要。 这项研究提供了一种有效且精确的工具来处理变分数阶非线性微积分方程，这对于处理具有非整数阶时间或空间依赖性的实际问题具有重要意义。此外，由于采用了数值方法，这种方法具有较强的通用性和适用性，可以在计算机上进行大规模的数值仿真和数据分析。