中科大《算法导论》课件：数论算法解析

"中科大 算法导论 课件（全套14）有关数轮的算法" 在《算法导论》这门课程中，数论算法是重要的组成部分，尤其在中国科学技术大学的教学中，它是计算机相关专业学生必修的知识点。本套课件详细讲解了与数论相关的算法，主要涵盖了以下几个核心主题： 1. 初等数论概念：初等数论是数论的基础，涉及到整数的整除性、约数、素数和合数的概念。整除性表示一个数a可以被另一个数d整除，意味着a是d的倍数。约数是指能够整除给定数的非负整数，而素数是只有1和自身作为约数的正整数。合数则是除了1和自身外还有其他约数的整数。1是基数，不属于素数或合数的范畴，而0和负整数也不属于这两者。 2. 除法定理：这是数论中的基本定理，指出每个整数都可以表示为两部分，即商和余数的乘积。余数是整数除以另一整数后的剩余部分，模n等价类将所有整数分成n个等价类别，每个类别由具有相同模n余数的数组成。 3. 模运算和模线性方程：模运算是一种算术操作，它涉及整数除以固定整数n后的余数。模线性方程是在模n意义下解决的一类方程，例如寻找整数解x，使得ax ≡ b (mod n)。解决这类问题通常需要用到中国剩余定理。 4. 中国余数定理：这是数论中的一个重要定理，它提供了解一组模线性同余方程的系统方法。该定理表明，给定一组不同的模数n1, n2, ..., nk和相应的余数r1, r2, ..., rk，存在唯一的整数解x，满足x ≡ ri (mod ni)，i = 1, 2, ..., k，条件是这些模数两两互质。中国余数定理在密码学、编码理论以及计算数学的许多领域都有应用。 通过学习这些基础知识，学生将能够理解和应用数论算法来解决实际问题，比如在数据加密、计算机安全、编码和优化问题中。此外，掌握这些概念对于理解更高级的算法和理论，如RSA公钥加密算法、欧几里得算法求最大公约数、扩展欧几里得算法求模逆元等，都至关重要。因此，《算法导论》中的数论算法部分不仅理论性强，而且具有很强的实践价值。