Matlab实现主成分分析：代码示例与步骤详解

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主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的统计方法，用于数据降维和特征提取，尤其在处理高维数据集时非常有效。这段MATLAB代码展示了如何通过实际例子来实现主成分分析。首先，我们注意到代码片段开始于数据矩阵`A`，其中包含了多组变量观测值，每行代表一个样本，每列表示一个特征。矩阵的维度是`a`行`b`列，分别对应样本数量和特征数量。在MATLAB代码中，`size(A,1)`获取了矩阵A的行数，即样本数，而`size(A,2)`则获取了列数，即特征数。接下来的`for`循环遍历每一列（特征），执行主成分分析的具体计算步骤。在循环中，可能包括数据标准化（确保各个特征具有相似的重要性）、协方差矩阵的计算、特征值和特征向量的求解等关键步骤。主成分分析的核心思想是将原始特征线性组合成新的独立特征，这些新特征按其解释原始数据变异程度的大小排序。在循环内部，可能会进行以下操作： 1. **数据预处理**：由于主成分分析对数据的尺度敏感，因此可能先对数据进行标准化，使得每个特征的均值为0，标准差为1，以消除不同特征间的量纲影响。 2. **协方差矩阵计算**：通过计算特征之间的协方差矩阵，反映各特征之间的线性相关性。协方差矩阵是PCA中的核心，它反映了数据的多维分布。 3. **特征值和特征向量**：对协方差矩阵进行特征值分解，得到一组特征值（对应方差的比例）和对应的特征向量。最大的特征值对应第一个主成分，依次类推，后续主成分的解释能力逐渐减弱。 4. **投影到主成分空间**：用每个样本的特征向量表示法来替换原始特征，将数据投影到由主成分构成的新坐标系，这样可以显著减少数据的维度。 5. **选择保留的主成分**：根据需要，可以选择解释大部分数据变异性的前几个主成分，以此进行数据的降维。在提供的代码片段中，我们没有看到完整的主成分提取过程，但可以推测后续会计算出各个主成分，并可能对降维后的数据进行可视化或者进一步的分析。这段代码对于学习如何在MATLAB中实施主成分分析算法是非常有价值的参考资料，尤其是对于那些正在数学建模领域应用PCA技术的人来说。通过实践这个例子，用户不仅可以掌握理论知识，还能熟练地在实际项目中应用PCA方法。

PCA步骤：

（1）对原始数据进行标准化处理

（2）计算样本相关系数矩阵

（3）计算相关系数矩阵R的特征值和相应的特征向量

（4）选择重要的主成分，写出主成分表达式

下例中企业综合实力排序问题，其中各列分别为：企业序号；净利润率；固定资产利润率；总产值利润率；销售收入利润率；产品成本利润率；物耗利润率；人均利润；流动资金

x =

1.0000 40.4000 24.7000 7.2000 6.1000 8.3000 8.7000 2.4420 20.0000
2.0000 25.0000 12.7000 11.2000 11.0000 12.9000 20.2000 3.5420 9.1000
3.0000 13.2000 3.3000 3.9000 4.3000 4.4000 5.5000 0.5780 3.6000
4.0000 22.3000 6.7000 5.6000 3.7000 6.0000 7.4000 0.1760 7.3000
5.0000 34.3000 11.8000 7.1000 7.1000 8.0000 8.9000 1.7260 27.5000
6.0000 35.6000 12.5000 16.4000 16.7000 22.8000 29.3000 3.0170 26.6000
7.0000 22.0000 7.8000 9.9000 10.2000 12.6000 17.6000 0.8470 10.6000
8.0000 48.4000 13.4000 10.9000 9.9000 10.9000 13.9000 1.7720 17.8000
9.0000 40.6000 19.1000 19.8000 19.0000 29.7000 39.6000 2.4490 35.8000
10.0000 24.8000 8.0000 9.8000 8.9000 11.9000 16.2000 0.7890 13.7000
11.0000 12.5000 9.7000 4.2000 4.2000 4.6000 6.5000 0.8740 3.9000
12.0000 1.8000 0.6000 0.7000 0.7000 0.8000 1.1000 0.0560 1.0000
13.0000 32.3000 13.9000 9.4000 8.3000 9.8000 13.3000 2.1260 17.1000
14.0000 38.5000 9.1000 11.3000 9.5000 12.2000 16.4000 1.3270 11.6000
15.0000 26.2000 10.1000 5.6000 15.6000 7.7000 30.1000 0.1260 25.9000

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