MATLAB函数拟合与最小二乘法

"引入记号-5-函数逼近与拟合法" 在数学和科学计算中，函数逼近与拟合法是一种重要的数据分析技术，用于通过数学模型描述数据趋势或规律。本资源主要介绍了这一主题，特别是在MATLAB环境下的应用。课程由中南大学材料科学与工程学院的唐建国主讲，主要内容包括引言、函数逼近理论以及各种拟合方法。 首先，引言部分提到一个实际问题，即研究纤维的强度与拉伸倍数之间的关系。通过24个纤维样品的实验数据，观察到强度随拉伸倍数的增加而增加，可以初步假设两者之间存在线性关系。为了找到最佳拟合曲线，我们需要定义一个度量标准来评估曲线与所有数据点的接近程度。 函数逼近中，傅里叶逼近是一种常用的方法，它利用傅里叶级数将复杂函数表示为正弦和余弦函数的无穷级数，适用于周期性函数的分析。在本案例中，可能并不直接适用，因为我们要寻找的是非周期性的线性关系。 最小二乘法拟合是解决这类问题的经典手段，特别是对于线性关系的建模。它寻找一组参数（在这个例子中是斜率β1和截距β0），使得所有数据点到由这些参数确定的直线的垂直距离之和平方最小，即最小化残差平方和。这种拟合方法在处理有噪声的数据时特别有用，因为它能够平滑数据并忽略一些局部的波动。 多元线性拟合扩展了这一概念，当数据涉及多个自变量时，可以建立多维的线性模型。而非线性拟合则是处理无法用线性函数描述的关系，可能需要用到迭代优化算法来求解非线性方程组。 在MATLAB中，提供了多种内置拟合函数，如`polyfit`用于线性或高次多项式拟合，`lsqcurvefit`适用于非线性拟合等。用户可以根据数据特性选择合适的函数，并结合可视化工具如`plot`和`scatter`来检验拟合效果。 总结起来，本资源涵盖了从理论到实践的函数逼近与拟合法，强调了MATLAB在数据处理中的应用，对于理解如何用数学模型描述实验数据及其变化趋势具有很高的价值。通过学习，我们可以更好地理解和应用这些方法来解决实际工程和科研问题。