MATLAB线性回归详解：从一元到多元

"这篇文档是关于MATLAB中线性回归的详细讲解，涵盖了从一元到多元线性回归的多种方法。" 线性回归是一种广泛应用的统计分析技术，用于研究两个或多个变量之间的关系，尤其是当一个变量依赖于其他一个或多个变量时。在MATLAB中，线性回归可以通过多种命令实现。 一、一元线性回归 1. **命令polyfit**：此命令用于执行最小二乘多项式拟合。例如，`[p, S] = polyfit(x, y, m)`，其中`x`和`y`是数据点，`m`是拟合的多项式的阶数。`p`是一个包含多项式系数的向量，`S`是一个估计的预测误差矩阵。 2. **命令polyval**：该命令用于计算在特定点的多项式预测值。例如，`Y = polyval(p, x)`会给出使用`polyfit`得到的回归多项式在`x`处的预测值`Y`。 3. **命令polyconf**：这个命令用于计算预测值的置信区间。例如，`[Y, DELTA] = polyconf(p, x, S, alpha)`，其中`alpha`是显著性水平，默认为0.05。 4. **命令polytool**：这是一个交互式工具，可以用来可视化一元多项式回归，提供更直观的理解。 二、多元线性回归 1. **命令regress**：这是MATLAB中最常用的多元线性回归命令。例如，`b = regress(Y, X)`，它返回回归系数`b`。如果添加了`alpha`参数，如`[b, bint, r, rint, stats] = regress(Y, X, alpha)`，则会额外得到回归系数的区间估计、残差、残差置信区间以及一系列统计量，包括R²、F值和p值，用于评估模型的显著性。 在多元线性回归中，`X`矩阵通常包括一个全1列（代表截距项）和其他自变量列。R²值越接近1，表示模型对数据的解释能力越强；F值和p值用于检验模型的整体显著性，当F值大于F分布的临界值，且p值小于设定的显著性水平时，我们拒绝零假设，认为模型是显著的。 三、其他工具 1. **命令rstool**：这是一个用于多元二项式回归的图形用户界面工具，可以设置不同的回归模型，如逻辑回归、岭回归等，并进行模型诊断和比较。 MATLAB提供了丰富的工具和命令来处理线性回归问题，无论是简单的线性模型还是复杂的多元模型，都能通过这些功能强大的函数进行分析和建模。对于数据科学家和研究人员来说，掌握这些命令和工具是理解和应用线性回归的关键步骤。