计算几何：向量运算与应用解析

"向量的运算-ACM之计算几何" 在计算几何领域，向量是至关重要的概念，特别是在解决ACM（国际大学生程序设计竞赛）中的问题。向量不仅代表了空间中的方向，还可以进行多种运算，这些运算是解决几何问题的基础。本文将详细探讨向量的加法、减法、点积和叉积，以及它们在二维空间中的几何意义和应用。 首先，向量的加法和减法是非常直观的，两个向量相加或相减，只需对应坐标相加或相减即可。例如，如果向量A=(x1, y1)和向量B=(x2, y2)，那么A+B=(x1+x2, y1+y2)和A-B=(x1-x2, y1-y2)。 点积，又称为内积或标量积，是两个向量的一种运算，结果是一个标量（即一个普通的数值）。对于二维向量A=(x1, y1)和B=(x2, y2)，它们的点积定义为A·B=x1*x2+y1*y2。点积的几何意义是两个向量的长度乘积与它们夹角余弦的乘积，可以用来判断两个向量的相对方向：如果点积为正，表示它们大致同向；为负，表示它们大致反向；为0，表示它们垂直。 叉积，又称外积或向量积，虽然在三维空间中结果是一个向量，但在二维空间里，叉积的结果是一个标量，其值为x1*y2 - x2*y1。叉积的几何意义是两个向量构成的平行四边形的面积，并且根据结果的正负，可以判断两个向量的夹角是顺时针还是逆时针。如果叉积为负，表示夹角是顺时针；为正，表示逆时针；为0，表示两向量共线。 在实际编程解决问题时，需要注意精度问题。由于浮点数计算可能存在误差，通常会设定一个很小的阈值（如常量EPS），来判断两个浮点数是否近似相等。此外，尽量使用double类型以提高精度，避免使用除法、开方、三角函数和反三角函数，因为这些运算可能导致更大的误差。 向量幅角的计算通常不直接求角度，而是通过比较向量的象限和外积。如果需要计算角度，可以使用atan2函数，它的值域是(-π, π]。 向量的运算在计算几何中有广泛的应用，如判断三点的拐向、计算三角形和凸多边形的面积、判断点是否在线上或多边形内，以及线段是否相交等。其中，判断两线段是否相交通常通过排斥实验和跨立实验这两种方法。 在处理直线时，可以定义直线的数据结构，如line_t，包含a、b、c三个参数，表示直线ax+by+c=0。为了简化计算，有时会进行归一化处理，确保a始终为1.0或b始终为1.0。然而，在处理整数坐标的问题时，最好直接用整数表示直线，以减少浮点数运算带来的误差。 最后，文中给出了几个典型的ACM题目，如POJ1066用于练习线段相交，POJ1654适合初学者了解多边形面积的求解，而POJ2318涉及线段相交和并查集的概念。通过这些题目，可以更好地理解和应用向量的运算在计算几何中的实际应用。