Matlab求解非线性方程组：超定、恰定与欠定

本文档详细介绍了在MATLAB中处理不同类型的方程组，包括非线性、线性、恰定方程组（满秩情况）、超定方程组（矩阵秩小于未知数数量）、欠定方程组（矩阵秩大于未知数数量）以及方程组的非负最小二乘解。以下是主要内容概要： 1. **线性方程组求解**： - 在MATLAB中，可以使用`linsolve`函数来求解线性方程组`AX=B`或`XA=B`。如果矩阵A是方阵，可以直接计算其逆矩阵得到解。对于非方阵，需确保方程组是恰定的。 2. **非线性方程求解**： - `fsolve`函数用于求解非线性方程组，通过提供一个包含待解函数`fun`的文件名和初始向量`x0`，以及可选的优化参数`options`来进行求解。 3. **恰定方程组**： - 当方程组中的系数矩阵A是方阵且秩等于未知数的个数时，即m=n，可以利用矩阵的逆运算求解精确解。 4. **超定方程组**： - 对于超定方程组（m > n），通常采用奇异值分解（SVD）或其他数值方法，如`pinv`函数（伪逆）来求解，即使矩阵A没有逆。 5. **欠定方程组**： - 欠定方程组（m < n）可能没有唯一解，或者存在无穷多个解。在这种情况下，使用`pinv`函数求解，但可能会出现警告，因为矩阵不是满秩的。 6. **非负最小二乘解**： - 对于非负约束的最小二乘问题，MATLAB提供了`nnls`函数，它会找到使得残差平方和最小且所有元素非负的解。 文章中还提到一个示例，即如何使用`nnls`函数解决一个带有特定约束的方程组，其中目标是找到非负最小二乘解。 总结来说，文档涵盖了MATLAB中求解各种类型方程组的方法，并提供了实例来演示如何应用这些函数进行实际问题的求解。这对于理解和使用MATLAB处理线性与非线性方程、处理不同秩的方程组以及解决约束优化问题具有重要参考价值。