控制系统数学模型：从微分方程到传递函数

"该资源是胡寿松教授编写的《自动控制原理》第五版第二章的课件，主要探讨了控制系统的数学模型，包括数学模型的概念、特点、类型以及建立方法。内容涵盖微分方程、传递函数和系统结构图与信号流图等基础知识。" 在自动控制领域，数学模型是理解和分析控制系统的关键工具。它是一种用数学语言描述系统动态特性和各变量间相互作用关系的表达方式。数学模型的建立是基于控制系统定量分析的基础，用于揭示系统行为并预测其响应。 数学模型具有以下特点： 1. 相似性：不同的物理系统，只要它们的动态行为相似，就可以用相同的数学模型来表示。 2. 简化性和准确性：在建立模型时，通常会忽略次要因素以简化模型，但同时必须保证模型的预测结果合理。 3. 动态模型：通过微分方程来描述系统中变量各阶导数之间的关系，适合进行动态性能分析。 4. 静态模型：在静态条件下，用代数方程描述变量间的关联，适用于计算放大倍数等静态特性。 数学模型的类型主要包括： 1. 微分方程：这是最基础的模型形式，直观但求解过程可能复杂。 2. 传递函数：在复频域中，通过微分方程的拉普拉斯变换得到，适用于频域分析。 3. 频率特性：反映系统对不同频率输入的响应，为系统设计提供依据。 建立数学模型的方法主要有两种： 1. 分析法：根据系统各组成部分的工作原理，利用物理定律列出方程。 2. 实验法：对于黑箱系统，通过注入测试信号并记录输出，使用系统辨识技术来获得模型。 建模过程中遵循的主要原则是选择适当的分析方法，确定相应的数学模型，并对其进行必要的简化，以确保模型既易于理解又具有实用性。 列写微分方程的步骤通常包括： 1. 分析系统输入、输出和中间变量之间的因果关系。 2. 忽略次要因素，合理简化模型。 3. 根据力学、电路或化学等基本定律，列出各个部分的原始方程。 4. 引入中间变量的辅助方程。 5. 联立所有方程，消除中间变量，得到仅含输入和输出的方程组。 6. 将方程化为标准形式，输出项在左边，输入项在右边，导数项按降序排列，系数具有物理意义。 这一章的内容深入浅出地介绍了控制系统的数学模型，为后续章节的深入分析和设计奠定了坚实的基础。