非线性可分情况下支持向量机的优化与分类面求解

非线性支持向量机（SVM）是一种在非线性可分数据集上进行分类的机器学习算法。当原始数据在输入空间X中不能被简单的线性分类器分割时，通过引入非线性映射，将数据转换到高维的特征空间H中，使得线性分类变得可能。在这个过程中，关键步骤包括： 1. **非线性变换**：首先，使用一组非线性函数（如多项式、sigmoid或径向基函数RBF）将输入数据映射到特征空间，这种映射使得原本难以区分的数据在新空间中变得线性可分。 2. **线性分类器设计**：在特征空间H中，我们寻找一个线性决策边界，即找到一个超平面，最大化不同类别的间隔（也称为支持向量），这些支持向量是决定分类性能的关键样本。 3. **优化问题**：对于线性可分的情况，最初的优化问题是找到一个权重向量w，使得所有样本到超平面的距离最小化，同时保证分类正确。在非线性情况下，这个优化问题转化为求解拉格朗日函数的对偶问题。对偶问题的目标函数通常形式为最大化间隔（通常与核函数有关），同时满足约束条件。 4. **核函数**：核函数是SVM的核心组成部分，它避免了直接计算高维特征空间中的内积，而是通过核技巧将问题在低维空间中重新表述。常用的核函数有线性核、多项式核和径向基函数（RBF）核等，它们提供了将数据映射到无穷维特征空间的便捷方式。 5. **支持向量机分类面**：通过解决优化问题2，我们得到最优的超平面，这个超平面在特征空间中对应一个最优的分类面，支持向量机的名称来源于这些位于决策边界上的关键样本。 6. **求解方法**：优化问题2通常使用现成的数学软件包（如LIBSVM或Scikit-learn等库）来求解，这些软件提供了有效的算法来处理约束条件下的优化问题。 总结来说，非线性支持向量机通过非线性变换和核函数技术，实现了在非线性可分数据上的有效分类。关键在于找到最优的决策边界，这一过程涉及到优化问题的转换和求解，以及利用支持向量来刻画模型的复杂性。通过这种方法，SVM在很多实际问题中取得了良好的分类性能。