EM算法原理详解：高斯混合模型中的应用与Q函数构建

本资源是一份关于聚类算法的PDF文档，深入讲解了聚类算法的原理和实现方法，特别是焦点集中在EM(Expectation-Maximization)算法上。EM算法是一种迭代优化算法，广泛应用于统计学和机器学习领域，尤其适用于高斯混合模型(Gaussian Mixture Model, GMM)的参数估计。 章节18详细介绍了EM算法的工作流程。首先，利用Jensen不等式来构建下界函数，这个下界函数保证了每一步迭代过程中对数似然函数值的上升，直到达到局部最优解。图18.3展示了EM算法的直观示意图，其中蓝色曲线代表实际的对数似然函数，黄色曲线是下界函数，通过估计参数θ来逼近原函数。 在高斯混合模型的应用中，每个样本x被添加一个隐变量z，表示其属于哪个高斯分布。z是一个离散随机变量，取值范围从1到k，其取每个值的概率由w决定。样本x和隐变量z的联合概率可以通过高斯分布的参数μ和Σ来计算。在E步(Evaluation Step)，我们计算Q函数，它基于当前参数的估计值，是一个常数，反映了z的分布。这个步骤的主要目标是估计隐变量的分布。 M步(Maximization Step)则是在给定E步的结果后，最大化下界函数，得到参数的新估计值。这个过程重复进行，直到算法收敛，即Q函数不再显著改变或达到预设的迭代次数。目标函数是对所有样本的联合对数似然函数，经过EM算法的优化，我们能够估计出GMM模型的最佳参数，使得模型能够更好地拟合数据。 这份文档不仅提供了聚类算法的基本概念，还深入剖析了EM算法在处理高斯混合模型时的具体操作，包括如何构建和优化下界函数，以及如何通过迭代更新参数来提高模型的性能。这对于理解和应用聚类算法以及高斯混合模型的实践者来说，是一份非常有价值的参考资料。