现代通信网络中的Markov排队模型

现代通信网络中的随机过程_第三章 本章节主要讲解了Markov排队模型及其推广，介绍了M/M/K队列的概念和性质，并推广到更一般的排队模型。 3.1 M/M/K队列 M/M/K队列是指到达过程为泊松过程，服务时间为指数分布的排队系统。在这种系统中，排队问题的解具有极简单的形式，因此也称作“简单队列”。我们首先假定单一服务台系统，也即M/M/1队列。 3.1.1 M/M/1队列长度 令N(t)为t时刻队列长度，Pn(t)=P[N(t)=n]为队列长度的概率分布。λ为到达率，μ为服务率。在t以前的累积到达次数A(t)具有泊松分布，即P[A(t)=n]=e^(-λt)(λt)^n/n!。服务时间S的密度函数为f(t)=μe^(-μt)。 由于到达间隔与服务时间都是指数分布，当服务台被占用时，在h时间内发生两个事件或两个以上事件（不论是到达或离去）的概率都是O(h)，而且在两个不相重叠的间隔内发生的事件彼此互为独立。因此，Pn(t+h)可以分解为： Pn(t+h) = Pn(t) \* P[无事件发生] + P[中一个离去发生] + P[里有一个到达发生] 其中，P[无事件发生] = e^(-λh)，P[中一个离去发生] = λhe^(-λh)，P[里有一个到达发生] = μhe^(-μh)。 通过这种分解，我们可以得到Pn(t+h)关于h的微分方程： dPn(t)/dt = λPn-1(t) - (λ+μ)Pn(t) + μPn+1(t) 这是一种常微分方程，解决这种方程可以得到队列长度的概率分布。 Markov排队模型的推广 Markov排队模型可以推广到更一般的排队模型，如M/M/K队列、M/G/1队列、G/M/1队列等。在这些模型中，我们可以使用相同的方法来解决排队问题，例如使用泊松分布来描述到达过程，指数分布来描述服务时间等。 本章节介绍了Markov排队模型的基本概念和性质，并推广到更一般的排队模型。这些模型在现代通信网络中有着广泛的应用，例如在流量控制、网络性能评估等领域。