离散时间信号处理：从序列到线性移不变系统

“同理可证明-数字信号处理课件，主要涵盖了程佩青第三版《数字信号处理》的内容，包括离散时间信号与系统的基本概念、性质和处理方法。” 在数字信号处理领域，离散时间信号是至关重要的概念。它们是由连续时间信号经过等间隔采样得到的，自变量（时间）取离散值，而函数值通常是连续的。例如，当模拟信号如语音或电视信号被每隔固定时间间隔T采样时，就形成了离散时间信号 xa(nT)，其中n是整数。这种采样过程遵循奈奎斯特抽样定理，确保信号的信息得以保留，以便将来可以恢复原始连续时间信号。 离散时间信号有多种表示方法，包括公式表示法、图形表示法和集合符号表示法。其中，两个常用的序列是单位抽样序列和单位阶跃序列： 1. 单位抽样序列 ε(n) 是一个在n=0处取值为1，其他位置取值为0的序列，它在离散时间信号处理中作为基本构建块，用于表示和分析系统响应。 2. 单位阶跃序列 u(n) 是一个在n=0及正整数处取值为1，负整数处取值为0的序列。它在表示和分析系统的因果性和稳定性方面起到关键作用。 单位抽样序列 ε(n) 和单位阶跃序列 u(n) 之间存在关联，可以通过线性变换将一个序列转换为另一个。例如，通过积分运算，可以得到u(n)是由ε(n)延时并累加得到的。 此外，对离散时间信号的处理涉及线性、移不变、因果和稳定性的概念。线性移不变系统意味着系统的输出仅与输入信号的线性组合有关，且这种组合不会随时间变化。因果系统是指其输出只依赖于当前和过去输入的系统，而非未来的输入。系统的稳定性则指系统对于所有可能的输入信号都能产生有限的输出，避免了振荡和失真的问题。 在这一课件中，还讨论了如何判断这些性质，以及如何通过常系数线性差分方程来描述和求解离散时间系统，特别是通过迭代法求解单位抽样响应。这些基本概念和技术构成了数字信号处理的基础，广泛应用于通信、音频处理、图像处理和许多其他领域。