使用QR法与双步位移求解矩阵特征值与特征向量

"北航计算实习大作业第二题是关于使用C语言编程，通过QR法求解矩阵的特征值和特征向量的问题。该程序首先对输入矩阵进行拟上三角化处理，然后进行带双步位移的QR分解，最后计算出特征向量。整个过程包括矩阵的初始化、拟上三角化、QR分解、特征值计算和特征向量的求解。" 在解决这类问题时，了解以下几个关键知识点至关重要： 1. **C语言编程**：C语言是一种强大的、低级的编程语言，常用于系统编程、软件开发和科学计算。在这里，它被用来编写求解矩阵特征值和特征向量的算法。 2. **QR分解**：QR分解是线性代数中的一种方法，将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R。在本题中，QR分解用于处理拟上三角化后的矩阵，以求解特征值。 3. **拟上三角化**：在进行QR分解之前，先将矩阵转化为拟上三角形，这可以通过一系列的行变换（如Givens旋转）实现，目的是简化后续的计算，减少计算量。 4. **双步位移的QR分解**：为了加速特征值的收敛，引入了双步位移策略。这涉及到在QR分解过程中选择适当的位移量，以避免出现复数特征值，从而简化计算。 5. **特征值计算**：特征值是矩阵A满足方程Ax=λx的数值λ，其中x是非零向量。在本程序中，特征值通过QR分解得到，如果能直接得出或简单运算得出，就直接计算；否则，进行QR分解。 6. **特征向量计算**：特征向量与对应的特征值一起定义了矩阵的性质。对于实特征值，特征向量可以通过解线性方程组((A-λI)x=0)获得。在本例中，使用列主元的高斯消去法求解这些方程。 7. **高斯消去法**：这是一种数值线性代数中的常用方法，用于解线性方程组。通过行变换逐步将系数矩阵转化为上三角形，然后通过回代求解未知数。 8. **列主元策略**：在高斯消去法中，选择列主元是为了确保矩阵在消除过程中保持良好的条件数，增加数值稳定性。 这个大作业涵盖了矩阵理论、数值线性代数和C语言编程等多个IT领域的核心概念，通过实现这一程序，学生能够深入理解这些理论在实际问题中的应用。