Doolittle分解方法详解：矩阵计算与编程实现

本篇文档是关于计算方法实验二的详细讲解，主要聚焦于Doolittle分解方法。Doolittle分解是矩阵求解线性方程组的一种常用技术，它将系数矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，即A=LU。该方法的核心在于通过一系列的初等变换逐步消元，形成矩阵的分块结构。 首先，Doolittle分解的步骤包括：从第一行开始，将系数矩阵A与右端项向量b进行左乘，用初等变换阵E进行消元，依次得到式（1.1）至（1.8）。在这个过程中，每个步骤都对应着矩阵L和U的特定元素更新，如U的第一行由A的第一行确定，而L的第一列元素可以通过A的对应元素和U的第一行元素计算得出。 当矩阵的前i-1行和列元素已知时，根据式（1.14）至（1.17），可以递推计算出第i行和列的元素。这一递推关系构成了Doolittle分解的具体算法公式，即式（1.18），该公式用于计算矩阵L和U的剩余部分。 在编程实现时，需要分为四个步骤： 1. 初始化U的第一行，由于累加求和中的i-1，对于U的第一行特殊处理。 2. 通过递归调用式（1.18）计算整个上三角矩阵U和下三角矩阵L。 3. 使用回代法（式（1.11）和（1.12））分别求解中间矩阵y和最终结果x。 4. 定义核心函数LU_separetion()，接受系数矩阵A和右端项矩阵B作为输入，返回L矩阵、U矩阵、y矩阵和x矩阵作为输出。 这个实验不仅锻炼了对矩阵操作的理解，还涉及到了矩阵分解在实际问题求解中的应用，如快速求解线性方程组。通过这些步骤和公式，学习者能够深入理解并掌握Doolittle分解的原理和计算过程。