"第3课攀登宝塔-2021.01.24.pdf" 是一份关于动态规划在信息学竞赛中的应用案例,特别是针对青少年趣味编程的题目。本题聚焦于一个有趣的数学问题,即贝贝如何利用仙术跳跃和爬行的方式,以最短时间登上一座高度不等的宝塔。题目设定中,塔共有n层(n≤10000),每层的爬行时间不同,且贝贝每次只能向上跳一层或两层,每次跳跃后都需要重新爬一层来积攒灵力进行下一次跳跃。
分析问题:
这是一个典型的最优化问题,通过动态规划方法解决。主要思路是定义两个状态变量:f[i]代表使用仙术跳跃到达第i层的最短时间,而g[i]则代表仅通过爬行到达第i层的最短时间。由于仙术不能连续使用,所以状态转移涉及到两种可能:从上一层直接爬到下一层(g[i]的情况)或者先爬到更低一层再用仙术跳(f[i-1]的情况)。
状态转移方程如下:
- f[i] = min{g[i-1], g[i-2]},表示从上一层或两层跳至第i层,取最短时间。
- g[i] = min{g[i-1], f[i-1]} + time[i],表示从上一层爬至第i层,加上当前层的爬行时间。
输入和输出:
输入部分提供了塔的层数n以及每层的具体爬行时间,例如样例中的5层,每层的时间分别为3, 5, 1, 8, 和4。输出则是贝贝达到塔顶的最短时间。
解决问题:
为了解决这个问题,需要遵循动态规划的步骤:
1. 定义状态:将问题分解为到达每个层次的不同状态,f[i]和g[i]分别对应不同的策略。
2. 设计状态转移方程:根据贝贝的行动选择,明确如何从一个状态转移到另一个状态。
3. 初始化:设置基础条件,如f[1]和g[1]分别为0(到达第一层不需要仙术)和time[1](直接爬行)。
4. 动态规划求解:从第二层开始,逐层计算f[i]和g[i],直至计算到第n层。
5. 找出答案:最终的答案是min{f[n], g[n]},即在所有可能路径中找到最短的时间。
通过这种方法,我们可以找到贝贝最短的攀爬时间,同时体现了动态规划在解决此类优化问题时的有效性。学习并掌握这种“状态拆分”技巧对于提高编程能力,尤其是处理类似问题时非常有帮助。