最小进制全1表示法：算法求解美丽数字问题

本题是Google Code Jam中的一个关于数制转换的二分搜索问题，题目编号为1。任务是给定一个十进制整数N，寻找最小的基数B（B > 1），使得该数在B进制下所有数字都变为1。这个问题可以通过分析数的二进制表示来解决，因为任何非零的十进制数在二进制中至少会有一个1（最低位），然后我们可以逐步尝试更大的基数，看是否能将剩余部分全部转换为1。 首先，理解题目的关键在于如何利用基数B的特性来转换数字。由于我们要使所有的数字都变成1，我们可以观察到，对于一个固定的N，它的二进制表示中，每一位上的1的数量是有限的，因为最左边的1（最高位）是最低的有效位。假设N的二进制表示为`n1 n2 n3 ... n_k`，其中n_i是第i位的值（0或1），我们可以将N写成以下形式： \[ N = \sum_{i=1}^{k} b^{k-i+1} \cdot n_i \] 这里的b是基数，而k是数字的位数。我们目标是找到最小的b，使得每个n_i在b进制中都等于1，或者b足够大，以至于n_i乘以任何b的幂次都能被b整除，从而达到所有n_i变成1的效果。 为了找到这个最小的B，可以采用二分查找策略。初始时，设定一个最大可能的基数上限，比如N的位数加上1。然后在每次迭代中，取这个上限的一半作为候选基数B。检查N在B进制下的表示，如果所有位都是1，则找到了一个可能的解决方案；如果不是，将B减半并继续搜索。搜索过程中需要注意处理边界情况，如当N为1时，最小基数为2，因为任何其他基数无法让1变成1。 对于输入的数据范围，小规模数据集限制3≤N≤1000，这意味着我们可以直接遍历所有可能的基数直到找到答案。而大规模数据集限制3≤N≤1018，这时候二分搜索更为高效，因为不可能枚举所有可能的基数。 举例来说，在测试用例#1中，给定数字3，其二进制表示为11，所以最小基数是2，将3表示为11，满足条件。而在测试用例#2中，13在二进制中是1101，转换为三进制是111，这表明最小基数是3。 解决这个问题的关键在于理解进制转换的原理，运用二分查找方法找出最小基数，并注意处理边界条件。在实际编写程序时，可以编写一个函数，接受一个十进制数N和当前的试探基数B，检查N在B进制下的表示，然后更新最小基数或者返回结果。