主成分分析：降维与信息保留

"201104-主成分分析.ppt" 主成分分析(PCA)是一种统计方法，用于处理包含多个变量的数据集，通过线性变换将原始数据转换为一组各维度线性无关的新变量，称为主成分。这种方法的主要目的是减少数据的复杂性，同时尽可能保持数据集中的大部分信息。PCA的核心思想是找到原始变量的线性组合，这些组合按信息含量排序，第一个主成分拥有最大的方差，随后的每个主成分依次具有次大的方差，但与其他主成分正交。 主成分分析由Harold Hotelling在1933年提出，它利用变量之间的相关性，通过降维来简化分析。当面对具有不同量纲或水平差异很大的变量时，通常采用基于相关系数矩阵的PCA，因为它能消除量纲影响，使不同尺度的变量能在同一平台上比较。PCA的目标是找到少数几个主成分，它们能够解释原始数据中的大部分变异，从而减少数据的维度，同时保留关键信息。 在PCA中，我们首先要确定使用多少个主成分。这个决策通常基于信息保留的需求和降维的程度。理想情况下，主成分的个数应小于原始变量的个数。保留的主成分数量需要平衡信息损失与简化问题之间的关系。一种常见的方法是选取累积贡献率达到一定阈值（如80%或90%）的主成分。 PCA的数学模型可以用矩阵的形式表示。设有一个包含p个指标的随机变量集合X1, X2, ..., Xp，PCA的目标是找到新的线性组合F1, F2, ..., Fk（k≤p），这些组合保留了原指标的主要信息，并且彼此独立。新变量Fj是原始变量的加权和，即Fj = ∑(u_ij * Xi)，其中u_ij是权重系数，可以通过计算数据的协方差矩阵或相关系数矩阵来确定。 PCA的几何解释是将高维数据投影到低维空间。原始数据点在高维空间中的分布可以看作是一个云，PCA通过找到该云的最大伸展方向（即第一主成分），然后找到次大的伸展方向（第二主成分），以此类推。每个主成分代表了数据在特定方向上的最大变异，从而提供了一个简洁的低维表示，同时保留了大部分原始数据的结构。 在实践中，解释主成分的含义是PCA的一个挑战，因为它们通常是原始变量的线性组合，可能没有直接的实际意义。为了理解主成分，通常需要查看主成分载荷（即权重系数u_ij），这些载荷表明了每个原始变量对主成分的贡献程度。通过这种方式，可以尝试将主成分与原始变量的含义联系起来，从而为数据分析提供直观的解释。 主成分分析是一种强大的工具，用于处理多变量问题，它通过降维来简化数据，同时保留数据中的主要信息。PCA在许多领域都有应用，包括生物信息学、金融分析、图像处理和机器学习等，它帮助研究人员在复杂的高维数据中发现模式和结构。