图书销售代理点选址优化：0-1整数规划与Matlab求解

"图书销售点的最优选择通过0-1整数规划模型确定，旨在最大化供应给大学生的书籍数量。在七个区域中选取两个区域作为销售点，每个点能服务本区及一个相邻区域的大学生。Matlab编程用于求解，得到最佳销售点为56千人区和71千人区，最大供应量为177千人。" 图书销售点的最优选择是一个典型的管理决策问题，涉及运筹学中的0-1整数规划模型。该问题的背景是一家出版社计划在某市设立两个销售代理点，以覆盖7个不同区域的大学生市场。每个销售点只能服务于其所在区域以及一个相邻区域的大学生，目标是使供应的大学生总数达到最大。 首先，问题被重新表述为在7个区域中选出2个，使它们的组合能够覆盖最多的大学生。关键在于选择的策略和模型的构建。在这种情况下，每个区域要么被选作销售点（1），要么不被选（0），这就是0-1整数规划模型的基础。 在建立模型时，需要考虑以下两个主要约束条件： 1. 只能有2个销售代理点。 2. 每个销售点可服务本区及一个相邻区域。 为了将这些条件转换成数学表达式，我们可以定义决策变量。例如，如果Xi=1，表示第i个区域被选为销售点；否则，Xi=0。接着，我们需要构建目标函数，这里的目标是最大化供应的大学生数量，记为Z。 在0-1整数规划模型中，目标函数通常是一个需要最小化的负值，表示需要最大化的目标的相反数。在这个案例中，目标函数可能表示为： -Z = -∑(Xi * Yi) - ∑(Xj * Yj) 其中，Yi和Yj表示区域i和j之间的售代关系，如果建立则为1，否则为0。Xi和Xj为对应的决策变量，若区域i和j被选则为1。 通过Matlab编程，可以求解这个优化问题，找到使Z取最大值的Xi和Yj的值。经过计算，发现56千人区和71千人区是最优选择，可以覆盖的大学生数量最大，达到177千人。 为了验证模型的正确性，还可以使用穷举法，即枚举所有可能的2个区域组合，计算每个组合下的大学生供应量，对比后确认最优解。 此案例展示了0-1整数规划在实际问题中的应用，它可以帮助决策者在有限的资源和约束条件下做出最有利的决策。此外，利用编程工具如Matlab进行求解，不仅提高了效率，也确保了解决方案的精确性。