偶维空间中非线性Schrödinger方程的整体解及其渐近行为

"该资源是一篇关于非线性薛定谔方程的学术论文，发表于2000年12月的《四川大学学报（自然科学版）》第37卷第6期，作者是邓丽洪。文章探讨了在任意偶维空间中，一类非线性薛定谔方程的混合问题中存在Hs光滑整体解及其渐近行为。" 这篇论文主要关注的是非线性薛定谔方程(NLS方程)在偶维空间中的数学分析。NLS方程在物理学中尤其在非线性光学领域有着重要应用，如描述激光束在介质中的传播。论文的焦点在于当空间维度为偶数时，寻找和分析方程的全局解以及这些解的渐近性质。 具体来说，论文处理的非线性薛定谔方程形式如下： \[ ihu_t + \Delta u = K|u|^{p-1}u \] 其中，\( h \) 是一个常数，\( u(x,t) \) 是复值函数，\( \Delta \) 表示拉普拉斯算子，\( K \), \( v \), \( p \) 是实数常数，且 \( v > 0 \)，函数 \( u \) 在某个区域 \( Q \) 内具有较高的光滑性。方程在边界条件 \( u(x,t) = 0 \) 和初始条件 \( u(x,0) = u_0(x) \) 下求解。 当空间维度 \( n = 2 \) 时，已有不少关于该方程整体解的研究成果，但对于 \( n > 2 \) 的情况，特别是偶维空间，相关工作相对较少。邓丽洪通过利用B-G-D不等式，结合算子半群理论和一致先验估计方法，证明了在任意偶维空间中，该方程存在唯一且光滑的整体解，并且这些解保持一定的能量守恒性质。 论文的主要结果总结为： 1. 当区域 \( Q \) 有界且具有足够的光滑性，且初始数据 \( u_0 \) 属于 \( H^{1+\frac{n}{2}}(Q) \) 时，方程存在唯一整体解 \( u \) 属于 \( C([0,+\infty);H^{1+\frac{n}{2}}(Q)) \cap C^1([0,+\infty);L^2(Q)) \)。 2. 整体解 \( u(t) \) 在 \( L^2(Q) \) 范数下的能量守恒：\( \|u(t)\|_{L^2(Q)} = \|u_0\|_{L^2(Q)} \) 对所有 \( t \geq 0 \) 成立。 3. 解的能量 \( E(u) \) 守恒，即能量函数 \( E(u) = \frac{1}{2}\|\nabla u\|_{L^2(Q)}^2 + \int_Q F(|u|^2) dx \) 对所有 \( t \geq 0 \) 不变，其中 \( F(x) = \int_0^x (1 - e^{-\frac{v}{y}})^{\frac{1}{p-1}} dy \)。 这项研究不仅为非线性薛定谔方程的理论提供了新的见解，也为解决更高维度问题提供了数学工具，对于理解和预测非线性光学现象具有重要意义。