基坐标变换与坐标矩阵计算

"这篇资料主要介绍了基坐标变换的公式，并以MATLAB课件的形式呈现，适合初学者学习。内容涉及到线性空间Rn中的基坐标变换，以及如何通过已知的基向量进行坐标转换。" 在数学和计算领域，基坐标变换是一个核心概念，特别是在线性代数和几何中。当我们在不同的基向量系统之间转换时，坐标表示也会发生变化。这个过程通常用于描述物体在不同坐标系下的位置，或者在不同的坐标系统中分析线性问题。在这个课件中，讨论了如何从一个基向量系统（u）转换到另一个基向量系统（v）。 首先，我们假设在线性空间Rn中有两个基向量u和v，它们都是n维列向量，每个基向量的各个分量在基准坐标系中都是已知的。任何向量w都可以在这两个基下有不同的坐标表示，记作wu和wv。根据线性空间的基本性质，向量w在不同基下的坐标表示应与其在基准坐标系中的表示一致。也就是说，无论选择哪个基，向量w在基准坐标系中的坐标表示应该是相同的。 公式（9.18）表达了这个关系： u * wu = v * wv 这里的星号(*)代表矩阵乘法。该等式表明，向量w在以u为基的坐标乘以u的转置（即u的逆），应该等于在以v为基的坐标乘以v的转置。这是因为u和v都是基向量，所以u的逆是u的转置，同样，v的逆也是v的转置。 为了从u基坐标(wu)转换到v基坐标(wv)，我们可以对等式两边同时左乘以v的逆，得到公式（9.19）： v^(-1) * (u * wu) = wv 简化后得到： wv = v^(-1) * u * wu 这里的v^(-1)是v的逆矩阵，而v * u表示的是基向量u相对于基向量v的坐标表示，记作P(u→v)。所以，坐标变换矩阵P(u→v)可以由u和v计算得出： P(u→v) = v \ u 这里的"\ "表示矩阵右除运算，即v的逆乘以u，这在MATLAB中用来表示求解线性方程组或矩阵除法。 这个课件对于初学者来说是一个很好的起点，它提供了理解基坐标变换的基本工具和公式，有助于深入学习线性代数和相关的计算问题。通过这些基础知识，学习者可以更好地理解和应用坐标变换在图形学、物理学、工程学等领域中的应用。