kd-树构建与查找算法分析：线性时间复杂度与边界相交特性

"这篇资料是《数据结构习题解析（C++语言版）》第三版的摘录，由邓俊辉编写，清华大学出版社出版。书中涵盖了数据结构的相关知识，包括高级搜索树、kd-树等数据结构的构建和查找算法。" 在高级搜索树的相关问题中，提到了一个势能函数`(S) = 2·BRR(S) + BBB(S)`，这个函数用于衡量树的状态，其中`BRR(S)`表示当前状态下拥有两个红色孩子的黑色节点数量，`BBB(S)`则是有两个黑色孩子的黑色节点数量。这个势能函数始终非负，并且在初始状态为0。在每次重染色、插入或删除操作后，势能函数的变化遵循一定的规则，这是为了保证树的平衡性和操作效率。 针对kd-树的构建算法`buildKdTree()`，如果中位点能在线性时间内找到，那么算法的整体运行时间可以优化到O(nlogn)。这是因为算法采用分治策略，将问题平均分成两半，然后递归构造子树，最后将子树合并，形成kd-树，其时间复杂度符合递推关系`T(n) = 2∙T(n/2) + O(n)`，解得`T(n) = O(nlogn)`。 对于kd-树的查找算法`kdSearch()`，有以下两个关键结论： 1. 在树中某一节点发生递归，当且仅当该节点对应的子区域与查询区域R的边界有交集。这是因为只有当子区域与查询区域边界相交时，算法才会继续在该子树中查找。 2. 计算规模为n的子树中与查询区域边界相交的子区域（节点）总数`Q(n)`，有`Q(n) = 2 + 2Q(n/4) = O(n)`。kd-树的节点根据它们与查询区域R边界的相交情况被分类，不相交的节点不计入`Q(n)`。这里假设R有四个边界，但为了估算复杂度，只考虑与一条边界相交的情况，例如水平的上边界。 这本书是数据结构学习的重要参考资料，提供了丰富的习题和解答，有助于读者深入理解数据结构及其应用。通过这些习题，读者可以掌握高级搜索树和kd-树的构建与查找方法，以及如何分析这些算法的时间复杂度。