对偶单纯形法详解及计算步骤

"对偶单纯型对偶单纯形、影子价格" 对偶单纯形法是一种基于线性规划对偶理论的求解方法，主要用于解决线性规划问题。与原始的单纯形法不同，对偶单纯形法并不直接求解原始问题的最优解，而是通过转化到对偶问题上来进行迭代求解。这种方法的优势在于它可以从另一个角度来理解和优化问题，尤其在处理大型优化问题时可能更加有效。 对偶问题是从原始线性规划问题派生出来的，它的目标函数和约束条件与原始问题相反。在原始问题中，目标是最大化或最小化一组决策变量的线性组合，而约束是决策变量的线性不等式。对偶问题则是最大化或最小化约束系数的线性组合，其约束是原始问题的松弛变量的线性不等式。 对偶单纯形法的基本思路是保证原始问题可行性的条件下，通过迭代向对偶问题的可行解方向移动，直到找到最优解。具体步骤包括： 1. **初始化**: 首先，我们需要一个对偶问题的初始可行基。这通常可以通过将所有非负约束视为基变量并设置对应的对偶变量（也称为影子价格）为0来实现。 2. **最优解判断**: 在每个迭代步骤中，我们检查当前的对偶解是否满足对偶问题的最优性条件。这包括检验对偶问题的系数矩阵C-CBB-1A是否小于等于0，其中C是对偶问题的目标函数系数，B是基变量的集合，A是原始问题的系数矩阵。 3. **换基操作**: 如果当前对偶解不是最优的，我们需要执行换基操作。首先，找出一个非基变量，使得其对应的影子价格（即对偶变量）为负，表示这个变量可以增加而不会违反任何约束，从而提高对偶目标函数的值。然后，选择一个基变量作为换出变量，使得在保持其他变量不变的情况下，该变量的系数最大。 4. **计算新基变量**: 更新基变量的值，以及相应的对偶变量（影子价格）。影子价格反映了在不违反约束的前提下，相应约束的松动对目标函数的影响。 5. **迭代直至最优**: 重复上述步骤，直至所有影子价格非负且满足其他最优性条件，此时得到的对偶解对应于原始问题的最优解。 在实际应用中，对偶单纯形法常用于处理大型线性规划问题，因为它允许在每次迭代中只更新部分变量，降低了计算复杂度。此外，影子价格提供了关于约束敏感性的信息，这对于理解问题的经济意义和进行决策分析非常有价值。例如，在资源分配或生产计划等问题中，影子价格可以解释为增加一个单位的资源或减少一个单位的产出对总成本的影响。