随机变量的性质与计算：考研概率统计核心知识点

"利用性质计算-embedded_systems_architecture_2nd_edition_正版高清英文版" 本文档主要探讨了概率论中的数学期望、方差及其性质，这些是考研数学概率统计的重要内容，适用于浙大版《概率论与数理统计》的复习。以下是相关知识点的详细说明： 1. **数学期望的计算**： - 数学期望（均值）是随机变量X的平均值，对于离散型随机变量X，其数学期望E(X)是所有可能取值乘以对应概率的总和；对于连续型随机变量X，E(X)是其概率密度函数f(x)与x的乘积在整个实数域上的积分。 2. **方差的计算**： - 方差D(X)衡量随机变量X的数值偏离其均值的平方的平均程度。离散型随机变量的方差是各个取值与均值之差的平方乘以相应概率的和；连续型随机变量的方差是概率密度函数与(x-E(X))^2的乘积的积分。 - 计算方差的便捷方法是：先求出E(X)，然后计算E[(X-E(X))^2]。 3. **数学期望和方差的性质**： - 常数的期望是常数本身，即D(C)=0，但D(X)=0并不意味着X是常数。 - 方差总是非负的，即D(X)≥0。 - 平移不变性：D(aX+b) = a^2 * D(X)。 - 独立随机变量的方差性质：如果X和Y相互独立，那么D(X+Y) = D(X) + D(Y)。 - 协方差公式：Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，它是衡量X和Y线性关系强度的指标。 - 相关系数：它是协方差和两个随机变量标准差的比值，范围在-1到1之间，表示变量间线性相关的程度。 4. **例题分析**： - 教材P101的例1、P102的例3、例4和例5，以及P102的例5的参数变换，这些都是对上述概念和性质的实际应用，用于加深理解。 5. **协方差和相关系数**： - 协方差Cov(X,Y)的存在性意味着我们可以度量两个随机变量的共同变化。 - 相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ_X * σ_Y)，其中σ_X和σ_Y分别是X和Y的标准差。ρ=0表示X和Y不相关，ρ=±1表示完全正相关或负相关。 6. **标准化变量**： - 如果X的均值和方差都存在且方差不为0，将X转换为Y=X-EX/D(X)，则Y的期望为0，方差为1，这在统计学中常用于比较不同分布的随机变量。 这些知识点对于理解和应用概率统计理论至关重要，尤其是在解决考研数学概率统计问题时。通过掌握这些概念和计算方法，能够更好地分析和处理随机数据。