匈牙利算法详解与C语言实现

匈牙利算法是一种经典的优化算法，主要用于解决分配问题，尤其是带有线性约束的最优化问题。它最初由János Kőnig在1931年提出，后经Paul Erdős和George Szekeres改进，于1965年由爱德华·莫尔德纳（Edmonds）以现在广泛接受的形式发表。匈牙利算法的核心在于解决配对问题，即在一个带权重的有向图中，寻找一条边集合，使得每条边都不构成环，并且每条边都能形成一个完整的匹配。 算法的主要步骤包括： 1. **定义问题**：匈牙利算法处理的是一个有向图，其中每条边都有一个权重，图中的顶点分为两组，每组顶点的数量相等。目标是找到一个最大匹配，即不形成环的边集，使得每组顶点至少有一条边与其对应组的顶点相连。 2. **初始化**：首先读入图的顶点数n和边数m，以及每条边的连接情况。使用布尔数组g表示图的邻接矩阵，用b标记已匹配的顶点，link数组用于记录匹配路径。 3. **求解**： - **查找剩余边**：函数`find(a)`遍历未匹配的顶点，寻找一条与顶点a可配对的边，如果找到，则标记这条边为已使用，并尝试继续匹配。 - **增广路搜索**：算法的关键步骤是寻找增广路径，即从任意一个未匹配的顶点出发，沿着边的路径到达另一个未匹配顶点，同时路径上所有的边都是可用的。这一步通常通过深度优先搜索或广度优先搜索实现。 - **更新匹配**：每次找到一条增广路径，就根据路径调整匹配，直至无法再找到增广路径为止。 - **结束条件**：当所有顶点都被匹配或无法找到增广路径时，算法停止，此时的匹配是最大匹配。 4. **复杂性分析**：原始的匈牙利算法时间复杂度为O(n^3)，其中n是顶点数，这是因为每个阶段可能需要尝试所有可能的增广路径。但是，通过一些优化技术，如Edmonds的双标号法（也称作Kuhn-Munkres算法），可以将时间复杂度降低到O(n^2 * m)，m为边数，这对于大规模图问题来说更为高效。 5. **程序实现**：给出的C语言代码片段展示了匈牙利算法的简化版本，其中包括初始化数据结构、查找匹配边和增广路搜索的部分。`g`数组表示图的邻接矩阵，`find`函数用于遍历边并尝试匹配，`link`数组用于跟踪路径，`ans`变量记录最大匹配的大小。 匈牙利算法是一种强大的工具，广泛应用于任务分配、任务调度、运输网络优化等领域，其核心思想是通过动态调整和搜索策略，找到最优的无环匹配方案。在实际编程中，理解并熟练运用匈牙利算法能够有效解决许多实际问题，提升算法设计和优化能力。