复化梯形与辛普森公式误差分析与数值积分实现

本实验主要探讨了数值积分的方法，特别是复化梯形公式和复化辛普森公式的应用。实验的核心目标是观察这两个公式在计算定积分时，随着区间数n（即子区间数量）的增加，误差是如何逐渐减小的，以此研究数值积分的精度提升规律。实验选取的精确值为I=4.006994，取n值分别为2, 4, 8, 和16，这四个不同的细分级别来分析误差的减小趋势。 复化梯形公式是将区间[a, b]均匀划分为n个子区间，每个子区间使用简单梯形公式近似，然后将所有子区间的结果相加。公式的形式为：(b-a)/2 * (f(a) + 2 * f(a+h) + 2 * f(a+2h) + ... + f(b-h) + f(b))，其中h=(b-a)/n。随着n的增大，误差会呈现出线性减少，当n趋向无穷大时，梯形公式将收敛到原定积分的真实值。 复化辛普森公式则进一步提升了精度，它同样将区间等分为n个子区间，但使用的是每个子区间的三个点（左端、中点和右端）的函数值。公式形式为：(b-a)/6 * (f(a) + 4 * f((a+b)/2) + f(b))。相比于梯形公式，辛普森公式在每个子区间上的误差更小，因此整体误差减小更快，尤其适用于光滑函数的积分。 在实验内容中，除了基本的复化梯形和辛普森公式计算，还涉及了一个附加题，即使用四阶经典龙格-库塔公式求解微分方程初值问题，这是数值微分方程求解的一种高级方法，通过将微分方程离散化，以步长h=0.01逼近解的序列。 设计思想上，数值积分的核心在于通过离散化过程，即插值，将连续的积分问题转化为一系列离散点上的函数值计算。通过等距分点法，将积分区间细分成n个子区间，每个子区间使用相应的插值函数（如梯形或辛普森插值），并求和这些子区域的近似值，来逼近原积分的值。 在程序设计上，给出了使用C语言编写的代码片段，用于实现复化梯形公式和复化辛普森公式对给定函数的积分计算。这段代码展示了如何定义函数、输入参数以及调用这两个公式进行计算。 本实验旨在让学生理解数值积分的基本原理，掌握实际计算的方法，并通过实践分析其精度特性，同时培养编程和问题解决的能力。