倒立摆系统的数学模型推导与分析

倒立摆模型推导 控制系统的数学模型是描述系统内部物理量或变量之间关系的数学表达式。在静态条件下，描述变量之间关系的代数方程称为静态数学模型；而描述变量各阶导数之间关系的微分方程称为动态数学模型。如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，则可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。因此，建立控制系统的数学模型是进行控制系统分析和设计的首要工作。 系统建模可以分为两种方式：实验建模和机理建模。实验建模是通过在研究对象上加入各种由研究者事先确定的输入信号，激励研究对象，并通过传感器检测其可观测的输出，应用系统辩识的手法分析输入-输出关系，建立适当的数学模型逼近实际系统。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统的运动方程。 对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难，故而选用机理建模的方法。为了在数学上推导和分析的方便，可作出如下假设： 1)摆杆在运动中是不变形的刚体； 2)齿型带与轮之间无相对滑动，齿型带无拉长现象； 3)各种摩擦系数固定不变； 4)忽略空气阻力； 在忽略掉这些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。 本文采用分析力学Lagrange方程建立一级、二级倒立摆的数学模型。Lagrange方程有如下特点： 1)它是以广义坐标表达任意完整系统的运动方程式，方程的数目和系统的自由度数是一致的。 2)理想的约束反力不出现在方程组中，因此在建立系统的运动方程时，只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力。 3)Lagrange方程是以能量的观点建立起来的运动方程式，为了列出系统的运动方程式，只需从两个方面进行分析，一个是表征系统运动的动力学能量——系统的动能，另一个是表征主动力作用的动力学量——广义力。因此，用Lagrange建模可以大大简化系统的建模过程。 采用拉格朗日的方法建立系统的数学模型。Lagrange算子可以描述如下： L(q,q)T(q,q)V(q) (1.1) 其中： T：系统的动能 V：系统的势能 q：系统的广义坐标 则系统的动力学方程可用Lagrange算子描述如下：  dLLD   U  dt Lagrange算子可以描述系统的动力学方程式，Lagrange算子是一个强有力的数学工具，可以用来描述各种复杂的系统运动方程式。 在倒立摆系统中，Lagrange算子可以用来建立一级、二级倒立摆的数学模型，通过对Lagrange算子的分析，可以得到系统的动力学方程式，并进行性能分析和设计。 倒立摆模型推导是控制系统数学模型的重要组成部分，通过机理建模和Lagrange算子的应用，可以建立倒立摆系统的数学模型，并进行性能分析和设计。