哈工大2015年概率统计期末考题及答案详解

本资源是一份2015年哈尔滨工业大学(哈工大)概率论与数理统计的期末考试试题及答案。这份试题涵盖了填空题和选择题两种题型，主要考察了概率论的基本概念和计算。 1. 填空题部分： - 第一小题考查了条件概率，给定概率和两个事件AB发生的情况，要求计算AB同时发生的概率。根据条件概率公式，若AB只发生一个的概率为0.5，可以推断出P(A)+P(B)=0.7，AB都不发生的概率为0.5，因此AB都发生的概率P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.7-0.5=0.2。 - 第二题涉及连续随机变量的联合概率密度函数，由已知X的指数分布推导Y=e^X的概率密度函数。对于指数分布的变换，新变量的概率密度为原变量密度的导数，即f_Y(y) = f_X(x) * dX/dy，这里Y=e^X，所以f_Y(y) = ye^(-y)。 - 第三题是关于随机变量相关系数的应用，相关系数为0.5说明它们之间存在正相关，要求计算EX+Y的期望值。由于已知EX=EX=0和相关系数，可以通过公式2*相关系数= Cov(X,Y)/(EX^2 + EY^2)来求解Cov(X,Y)，进而得到EX+Y。 - 第四题是关于抽样分布的应用，给出的是正态分布的样本均值和样本标准差，要求计算μ(均值)的95%置信区间。利用正态分布的置信区间公式，样本均值在μ±z*样本标准误差，代入z值(0.95对应的值)和已知数据计算置信区间。 - 最后一题涉及独立同分布的随机变量的最大值的概率，X和Y服从[0,3]上的均匀分布，要求计算max(X,Y)小于等于1的概率，可以通过积分或者查表得到。 2. 选择题部分： - 第一题考察事件关系，通过已知条件判断AB事件的关系，根据题意，AB的联合概率等于各自概率之和减去它们同时发生的概率，符合独立事件的性质，故选(C)相互独立。 - 第二题测试分布函数的定义，选项A是单调不增函数，不符合分布函数的定义；B选项满足分布函数的定义；C选项是指数函数，也不是分布函数；D选项是反正切函数，也不满足分布函数的一般形式。选(B)。 - 第三题涉及样本均值的性质，选项A错误是因为样本均值不是总体均值；B选项错误，样本均值是正态分布但不一定服从(1,2)的正态分布；C选项错误，样本均值是正态分布但不一定是(1,2)的正态分布；D选项正确，因为样本均值服从总体均值的正态分布，样本量足够大时，其分布近似正态，且均值为总体均值，标准差为总体标准差除以根号n。 通过这份试题，学生可以复习和检验自己在概率论与数理统计中的基础理论和计算能力，如条件概率、联合分布、期望值、相关系数、抽样分布以及随机变量的性质等。