计算机图形学作业：几何变换与投影理论

"assignment & experiment2-2020-fall何宇航1" 这篇资料主要涵盖了计算机图形学的基础概念，特别是关于几何变换、齐次坐标、刚性变换、投影、以及OpenGL中的函数应用。以下是关键知识点的详细解释： 1. **齐次坐标**：齐次坐标是一种扩展的坐标系统，常用于计算机图形学中表示几何变换。它可以表示平移、旋转和缩放等操作。一个点P的齐次坐标通常表示为四维向量[Px, Py, Pz, 1]，而题目中提到的“的齐次坐标”可能是指一个点或向量的齐次表示。 2. **几何变换的可交换性**：根据矩阵乘法的非交换性，两个几何变换A和B并不总是可交换的，即AB不一定等于BA。然而，如果A和B是可交换的，这意味着它们的顺序不影响结果。 3. **刚性变换**：刚性变换包括旋转变换和比例为1的缩放变换，但不包括比率不为1的缩放，因为后者会改变形状。平移变换也是刚性的，因为它保持了距离不变。 4. **造型变换与投影变换**：造型变换涉及对象在3D空间中的移动、旋转和缩放，如题目中放置椅子的例子。投影变换则是将3D对象映射到2D视图，例如三点透视投影。OpenGL中的函数glRotation3f、glTranslate3f执行造型变换，而glFrustum执行投影变换。 5. **透视投影**：透视投影能捕捉物体深度信息，无论木箱如何放置，其7个角点在3-k点透视投影中总是可见的。判断透视投影类型的方法是通过观察坐标轴与投影面的关系。 6. **线性变换的性质**：虽然旋转和平移会保持同一直线上的点的相对位置，但经过这些变换后，点可能不再位于原始直线，除非变换是单位矩阵，表示身份变换。 7. **仿射变换**：仿射变换包括旋转、平移、缩放和剪切，保持平行线的平行性。如果点集在变换前共面，在仿射变换后仍会共面。 8. **复合变换**：复合变换是多个基本变换的组合。例如，题目中的变换表示先平移后绕z轴旋转，其顺序不能颠倒，因为变换顺序影响最终结果。 9. **计算复合变换矩阵**：计算复合变换矩阵涉及矩阵乘法，不同类型的变换（平移、旋转、缩放）对应的乘法运算次数和加法运算次数不同。例如，平移和旋转的复合需要更多的乘法和加法，而缩放可以更高效地合并。 10. **计算题**：这部分可能涉及到计算具体的刚性运动（旋转和平移）对三角形的影响，包括计算新的顶点坐标等。 这些知识点是计算机图形学基础课程的重要组成部分，对于理解3D图形的表示和处理至关重要。