动态规划解析：石子归并与最短路径问题

"石子归并、动态规划、贪心策略、数塔、最优化问题、递推、回溯、记忆化搜索" 石子归并是一个经典的动态规划问题，目标是找到将多堆石子合并成一堆的最小得分策略。在这个问题中，每次操作可以选择相邻的两堆石子合并，新堆的石子数作为得分。动态规划是一种解决此类问题的有效方法，它通过构建状态转移方程来逐步逼近问题的最优解。在这个问题中，我们可以定义一个状态dp[i]表示前i堆石子合并的最小得分，然后通过比较相邻两堆合并和不合并的得分来更新状态。 例如，如果要合并第i堆和第i+1堆，得分将是这两堆石子的总数。我们可以遍历所有可能的堆组合，选择得分最小的策略。这样，状态转移方程可以表示为dp[i] = min(dp[i], dp[i-1] + dp[i])，其中dp[i-1]表示不合并第i堆的得分，dp[i-1] + dp[i]表示合并第i堆和第i+1堆的得分。 贪心策略在某些情况下也能解决问题，比如在杭州到北京的最低车费问题中，如果每个站点都必须下车，那么每个子问题（每一段旅程）是独立的，可以采用贪心策略，将每段的最低费用相加得到总费用。然而，如果允许在某些站点转车而不下车，问题就会变得复杂，因为子问题之间可能存在依赖关系，单纯贪心可能无法得到最优解。 数塔问题则是寻找一条路径，使得路径上数字之和最小或最大。动态规划在这种问题中同样适用。我们可以自底向上或自顶向下建立递推关系，计算每个节点到终点的最优路径。自底向上时，我们可以定义一个二维数组f[i][j]表示到达第i行第j列的最小或最大和，然后通过递推公式更新这些值。自顶向下则通常涉及递归，但由于递归可能导致大量的重复计算，因此通常会采用记忆化搜索，将已计算过的状态存储在一个数组中，避免重复计算，提高效率。 石子归并和数塔问题都是最优化问题的经典实例，它们展示了动态规划、贪心策略和记忆化搜索等算法在解决这类问题中的应用。理解这些问题的解决思路对于提升算法设计和优化能力至关重要。