Fisher线性判别函数解析：求解最佳投影方向

"Fisher最佳投影方向的求解——线性判别函数" 线性判别函数，特别是在模式识别和机器学习领域，是一种用于分类任务的统计方法。它旨在找到一个超平面，使得不同类别之间的间隔最大化，同时保持类内的紧密性。Fisher最佳投影方向的求解就是这个目标的具体实现。 Fisher判别分析（FDA，Fisher Discriminant Analysis）的核心思想是找到一个投影方向，使得类别间差异性最大，而类内差异性最小。这通常通过最大化类间散度与类内散度之比来实现，也称为Fisher准则。在这个过程中，拉格朗日乘子法是一个常用的工具，用于处理约束优化问题。 假设我们有两类样本m1和m2，它们的均值向量分别为m1和m2。直观上，对于与(m1-m2)平行的向量进行投影可以最大化两均值点之间的距离。然而，为了得到最佳的投影方向，我们需要考虑两类样本的分布离散程度。这涉及到使用样本协方差矩阵Sw的逆（Sw-1）。通过对m1-m2向量施加Sw-1的线性变换，我们可以找到使得Fisher准则函数达到极值点的投影方向。 线性判别函数通常用公式表示为： \[ g(x) = w^Tx + w_0 \] 其中，x是样本向量，w是权重向量，w_0是阈值。对于两类问题，分类决策规则可以表示为： \[ g_1(x) = w^Tx + w_0 > 0 \quad \text{(分类为类1)} \] \[ g_2(x) = w^Tx + w_0 < 0 \quad \text{(分类为类2)} \] Fisher判别不仅适用于二分类问题，还可以扩展到多类问题。然而，多类问题的处理相对复杂，需要考虑所有可能的类别组合。 在实际应用中，由于我们往往无法准确获取样本的概率密度分布信息，因此不能直接构建贝叶斯分类器。线性判别函数提供了一种基于样本数据的直接方法，通过寻找最优准则函数来确定决策面。尽管这种方法可能不是误差最小的次优分类器，但它在许多情况下表现出良好的性能，并且计算上更为高效。 此外，线性判别函数可以进一步扩展到非线性情况，例如通过核函数映射将数据转换到高维空间，从而实现非线性判别。这种方法在模式识别和机器学习领域有着广泛的应用，特别是在数据挖掘、图像识别和自然语言处理等领域。 Fisher最佳投影方向的求解是通过最大化类间分离和最小化类内分散来找到有效的分类超平面，这一方法在模式识别和机器学习中扮演着重要角色，为处理分类问题提供了强大而实用的工具。