扩展Sierpinski-Riesel猜想：最小k值的证明与探索

资源摘要信息:"扩展的Sierpinski-Riesel猜想：对于所有2 <= b <= 128和b = 256、512、1024的基，找到并证明最小k >= 1使得（k * b ^ n +- 1）与（k +- 1，b-1）的最大公约数（对于Sierpinski为+，对于Riesel为-）不是所有整数n >= 1的质数" 详细说明标题和描述中所说的知识点： 1. Sierpinski和Riesel问题的数学定义： Sierpinski问题和Riesel问题都属于数论中的数列性质研究领域，特别关注与特定基数b有关的整数序列中是否存在无穷多个素数。对于Sierpinski问题，研究的是形式为k * b^n + 1的数列；对于Riesel问题，研究的是形式为k * b^n - 1的数列。这里的k和b都是正整数，n为正整数。 2. 扩展猜想的提出： 经典的Sierpinski问题和Riesel问题只涉及当k和b的最大公约数为1时的情况（即k和b互质）。扩展的Sierpinski-Riesel猜想进一步提出，当k和b-1的最大公约数不为1时，即gcd(k +- 1, b-1)不等于1时，研究k * b^n +- 1是否仍然对所有整数n>=1都是素数。 3. 参数b的范围限定： 在扩展猜想中，特别关注基数b在[2, 128]的范围，以及几个特定的大数256、512、1024。这意味着需要对这个范围内每一个具体的b值，分别找到对应的最小k值，使得k * b^n +- 1在某些情况下不是素数。 4. 素数的判定与证明： 扩展猜想的关键在于找到满足条件的最小k值，并证明对于所有的n>=1，k * b^n +- 1不总是素数。这要求研究者需要有强大的计算工具和深厚的数学理论基础，以完成大量的计算验证和理论证明。 5. CRUS项目的关联： 提到的CRUS项目（Combined Riesel and Sierpinski Problem）与扩展猜想密切相关，其目标是找到并证明相关数列中的最小k值。这个项目中包含了对Sierpinski问题和Riesel问题的系统研究，但可能没有涵盖扩展猜想中的更一般情况。 总结来说，扩展的Sierpinski-Riesel猜想涉及了对特定数学序列性质的深入研究，旨在探索基数b与系数k之间的关系，以及它们对构成数列素性的影响。这不仅需要对经典数论问题的深刻理解，还需要结合现代计算工具，以及对大量数据的分析和验证工作。解决这些数学问题对于数学家而言是极具挑战性的任务，它们在数论中占有重要地位，并可能对密码学等应用领域产生深远的影响。