随机化与三元素中位数快速排序策略比较

"随机化快速排序的模拟与分析1" 本文深入探讨了快速排序算法的两种轴点选取策略，即随机取轴点和三元素取中位数选取轴点，并通过实验模拟研究了它们在比较次数上的期望值和方差。快速排序由Tony Hoare在1961年提出，因其高效性能而被广泛应用于如C++和Java等主流编程语言的标准库中。 在最坏情况下，传统快速排序的时间复杂度为O(n^2)，但平均时间复杂度为O(n log n)。为了避免最坏情况的发生，实践中常常采用随机选取轴点的方法。这种方法假设每次都能独立且均匀地从所有元素中选择轴点，因此比较次数的期望值为2n ln n + O(n)，而方差的计算相对复杂，本文通过编程模拟来获取这一数据。 另一种常见的优化策略是选择序列中三个元素的中位数作为轴点，这种方法被C++标准库采用。这种“三元素中位数划分法”旨在减少极端情况下的比较次数，提高算法效率。同样，本文也将通过模拟来分析这种方法在比较次数期望和方差上的表现。 在C++实现快速排序时，可以利用运算符重载来跟踪比较次数。例如，可以创建一个名为`Int`的结构体，其中包含一个整数值`val`和一个计数器`cmp_cnt`。通过重载小于运算符，每次比较都能自动更新计数器。 ```cpp int cmp_cnt = 0; struct Int { int val; bool operator<(Int rhs) const { ++cmp_cnt; return val < rhs.val; } }; ``` 快速排序的核心操作`partition`函数如下，它将使用定义的小于运算符进行比较并重新排列数组： ```cpp Int* partition(Int* l, Int* r) { Int x = *r, *i = l; for (Int* j = l; j < r; ++j) if (*j < x) std::swap(*i++, *j); std::swap(*i, *r); return i; } ``` 通过运行大量随机生成的输入数据，模拟上述两种轴点选取策略，我们可以计算出比较次数的期望值和方差，从而对两种方法的性能进行比较。这种方法有助于理解哪种策略在实际应用中更为高效，特别是在处理大规模数据时。