随机过程习题解析：公共汽车站乘客分布与通信系统脉宽调制

"该资源包含了关于随机过程的习题及答案，主要讨论了乘客登车的概率分布和随机脉宽调制通信系统的信号模型。" 在随机过程中，第一章的第1题涉及二项式分布的应用。当公共汽车站的乘客到达是独立的随机事件，且每个乘客登车的概率为定值时，我们可以利用二项式分布来分析在特定时间点A车上乘客的数量。二项式分布的概率质量函数公式为 \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)，其中 \( n \) 是试验次数（乘客总数），\( k \) 是成功次数（登上A车的乘客数），\( p \) 是每次试验成功的概率（乘客选择A车的概率）。题目中，\( p = \frac{2}{3} \)，乘客总数 \( n \) 随时间变化。要求的是在时间 \( t=n \) 时A车上有 \( k \) 位乘客的概率 \( P(n, k) \)。 解题的关键是将到达的每个乘客看作一次独立的伯努利试验，然后累计这些试验的结果。对于第（2）部分，我们需要计算A车出发时间 \( n \) 的概率分布，即在第 \( n \) 个乘客到达后A车上有10位乘客，也就是 \( \eta_{n}=10 \)。根据二项式分布，可以计算在 \( n-1 \) 个乘客中有9位乘客登上A车的概率，再加上第 \( n \) 个乘客也登上A车的概率。这涉及到对 \( n-1 \) 次试验成功次数的累积概率进行计算，然后乘以最后一次成功的概率。 第二题讨论了一个脉宽调制（PWM）通信系统。在这种系统中，每个脉冲的宽度是随机的，并且在 \( (0, T) \) 区间内均匀分布，而不同周期的脉宽是统计独立的随机变量。要找到随机过程 \( \xi(t) \) 的一维概率密度函数 \( f(x) \)，我们需要分析单个脉冲宽度的概率分布，然后考虑所有这些独立随机变量的连续叠加。由于每个脉冲宽度是均匀分布的，其概率密度函数 \( f_{\text{pulse}}(x) \) 在 \( (0, T) \) 上是常数 \( \frac{1}{T} \)。因此，随机过程 \( \xi(t) \) 的一维概率密度函数 \( f(x) \) 可以通过在每个脉冲周期 \( T \) 内的 \( f_{\text{pulse}}(x) \) 进行积分得到，以考虑所有可能的脉冲排列。 这两个问题展示了随机过程在实际问题中的应用，包括二项式分布的计算和连续随机变量的概率密度函数分析，这些都是概率论与数理统计以及通信系统理论中的基础概念。