Dijkstra算法详解：非负权图的单源最短路径

在图论的基本算法中，单源最短路径问题(SSSP)是研究的重要内容，特别是在权非负的情况下。SSSP的目标是找到从一个特定的源节点（通常标记为1）到图中所有其他节点的最短路径长度。在这个背景下，Dijkstra算法是一个常用的解决方案，它与Prim算法相似，但策略不同：Prim寻找边的最小权重，而Dijkstra关注的是每个节点的最短距离。 Dijkstra算法的核心在于每次固定当前已知最短距离的节点（通常是距离最小的节点），并更新与其相邻节点之间的距离。为了高效地选择这个最小值，算法利用了堆数据结构，如优先队列，这样可以确保在O((m+n)logm)的时间复杂度下进行操作，其中m是边的数量，n是节点数量。算法的中间结果会产生一个最短路树，展示了从源节点到所有可达节点的最短路径。 图论中的其他知识点包括图的概念，如有向图、无向图、顶点、度、路径和存储结构。邻接矩阵和邻接表是两种常见的图的表示方法，它们在不同的场景下具有优势。邻接矩阵适合快速查询两个节点间是否有边，而邻接表则更适合频繁插入和删除边的情况。 拓扑排序是一种对有向无环图(DAG)进行排序的方法，常用于任务调度或依赖关系分析。通过找出具有0出度的节点，按照它们的顺序逐步添加到排序序列中，直到所有节点都被处理。这在时间复杂度上为O(n+m)，其中n是节点数，m是边数。 欧拉路径和欧拉回路是图论中关于路径和循环的重要概念。欧拉路径要求路径恰好经过图中的每一条边一次且仅一次，而在有向图中，若所有顶点的入度等于出度，则存在欧拉回路。证明这一性质需要考虑图的连通性和节点度数的奇偶性。 总结起来，SSSP权非负问题的核心算法（Dijkstra）以及图论中其他概念如图的结构、拓扑排序、欧拉路径和回路，都是解决实际问题的重要工具。理解这些基本概念和算法有助于深入学习图论并应用于各种计算机科学领域，例如网络设计、路由算法、数据结构优化等。