无向图连通性分析：桥与边双连通分支

"本文主要探讨了无向图的连通性，重点讲解了割点、桥的概念以及如何求解边双连通分支。割点是指在图中移除后会导致图不连通的节点，而桥则是指移除后使得图不连通的边。边双连通分支是指即使去掉任意边仍然保持连通性的子图，每个节点和非桥边都恰好属于一个这样的分支。" 在无向图的连通性分析中，割点和桥是两个关键概念。割点是指如果从图中移除某个节点，使得图变成多个不连通的子图，那么这个节点就被称为割点。割点的存在对图的连通性起着至关重要的作用。推论1指出，如果节点u不是根节点，并且存在一个子节点s，使得从s或其后代到u的祖先路径中没有反向边，那么u就是割点。推论2则表明，如果u被选为根节点，它成为割点的条件是它有至少两个子节点。 桥是另一类影响图连通性的边。如果移除一条边后，图变成不连通的，那么这条边就是桥。桥与割点的区别在于，桥关注的是边而不是节点，且桥一定不属于任何边双连通分支。 计算割点的算法通常采用深度优先搜索（DFS）来实现。例如，给出的`fund_cut_point`函数就是一个基于DFS的割点检测算法。它通过遍历节点的邻接节点，更新low值来判断是否存在反向边，从而确定节点是否为割点。low值表示从当前节点出发，通过DFS可以到达的最远祖先节点的编号。 无向图的边双连通分支可以通过找出所有的桥并删除它们来确定。每个剩余的连通块就是一个边双连通分支。所有非桥边都属于某个边双连通分支，而桥不属于任何分支。 计算桥的判定方法同样基于DFS。在DFS过程中，当遇到树枝边（u, v）时，如果v及其后代不存在连接u或其祖先的反向边，那么边（u, v）就是桥。这可以通过比较low[v]和pre[u]的值来实现，若low[v]大于等于pre[u]，则边（u, v）可能是桥。 割点、桥和边双连通分支是理解和分析无向图连通性的重要工具。在实际应用中，这些概念被广泛应用于网络设计、数据结构优化、图形算法等领域，如网络可靠性分析、图的分割问题等。理解这些概念并能有效地进行计算，对于解决涉及图的复杂问题至关重要。