图的遍历与连通性分析

"数据结构图习题文档包含了关于图的各种问题，涵盖了无向图、有向图、连通分量、邻接矩阵、遍历算法等多个方面。" 1. **图的基本概念** - 图是一种数据结构，由顶点集合和边集合构成，用于表示对象之间的关系。 - 无向图中的边没有方向，而有向图的边具有方向性，即从一个顶点指向另一个顶点。 - 连通分量是指图中任意两个顶点都通过边相连的部分。 2. **边的数量** - 无向图的边数等于所有顶点度数之和的一半，因为每条边连接两个顶点，所以贡献2到度数总和中。 - 完全图是每个顶点与其他所有顶点都有边相连的图，含n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。 - 有向图的弧数最多为n(n-1)，如果有向强连通，即图中每个顶点都可以到达其他所有顶点，最少有n条弧。 3. **遍历算法** - 深度优先搜索(DFS)是从一个顶点出发，尽可能深地探索图的分支，通常采用栈来实现。 - 广度优先搜索(BFS)是从一个顶点出发，逐层探索图的分支，通常采用队列来实现。 - 遍历序列可能受起始顶点和遍历策略的影响，例如DFS可能导致不同的顶点顺序。 4. **邻接矩阵** - 邻接矩阵是表示图的一种二维数组，如果图是无向的，邻接矩阵是对称的；如果是有向的，邻接矩阵不一定是对称的。 - 邻接矩阵的大小与顶点数量相关，矩阵中的元素表示顶点之间的边或弧。 5. **连通性** - 含n个顶点的图最少有一个连通分量（完全连通），最多有n个连通分量（每个顶点单独一个连通分量）。 6. **空间复杂度** - 邻接表是另一种存储图的方法，它只存储实际存在的边，空间需求与顶点数和边数有关。 7. **表结点数量** - n个顶点的无向图的邻接表最多有n(n-1)个表结点，因为每个顶点可以与其他n-1个顶点相连。 8. **遍历序列** - 对给定的无向图进行深度优先遍历，可以得到不同的顶点序列，题目中提供了正确的序列选项。 9. **树的高度** - BFS生成树的树高一般不大于DFS生成树，因为BFS倾向于先访问较近的顶点。 10. **算法分析** - Dijkstra算法不适用于负权边，因为它基于贪心策略，负权边可能导致错误的最短路径。 - 对于Dijkstra算法，如果图用邻接矩阵表示，时间复杂度是O(n^2)，不是O(n^3)。 - Floyd算法用于求解所有顶点对间的最短路径，其时间复杂度为O(n^3)。 这些知识点是数据结构图论的基础，对于理解和解决图相关的算法问题至关重要。