自傅里叶-自菲涅尔函数的构造与应用

"这篇学术文章探讨了自傅里叶-自菲涅尔函数的理论与应用，主要由华东船舶工业学院的华建文教授撰写。文章介绍了自变换函数的概念，即经过特定变换后仍保持不变的函数，并指出这类函数在光学中的重要性，特别是傅里叶变换和菲涅尔变换在光学成像中的应用。作者引用了前人的研究成果，如Caola、Lohmann等人的工作，并探讨了自傅里叶函数和自菲涅尔函数的潜在应用。文章的重点在于构建严格的自傅里叶-自菲涅尔函数，这涉及到狄拉克梳状函数和周期函数的使用，并提供了数学证明。自成像效应，即通过自由空间光学近场衍射能复现自身的现象，是研究此类函数的重要动机，因为它在光学器件设计和泰伯像的形成中有实际应用。文中给出了近似和严格的自傅里叶-自菲涅尔函数的表达式，并讨论了它们的构造法则。" 本文研究的核心是自傅里叶-自菲涅尔函数，这是一种特殊类型的函数，它不仅在傅里叶变换下保持不变，也能在菲涅尔变换下保持不变。傅里叶变换是一种广泛应用的数学工具，常用于信号处理和图像分析，而菲涅尔变换则在光学中用于描述光的传播和衍射现象。狄拉克梳状函数在数学和物理学中是一种重要的分布，由一系列的δ函数构成，它可以模拟无限序列的离散结构。文章中提到的细胞函数c(x,y)和孔径函数a(x,y)是定义自傅里叶-自菲涅尔函数的关键组成部分，它们决定了函数的具体形状和特性。 作者华建文提出了一种新的构造方法，利用狄拉克梳状函数和周期函数来创建这种双重自变换函数。他强调了这些函数的实际意义，特别是在光学中的自成像效应，这是光学系统设计中的一个重要概念，能够帮助理解并优化光学器件性能。文章通过严格的数学证明和示例展示了这种函数的构造法则，为后续的研究提供了理论基础。 关键词：光学，变换，自变换函数，傅里叶变换，菲涅尔变换，狄拉克梳状函数，自成像效应，泰伯像，细胞函数，孔径函数。 该研究对于深入理解光学成像原理，尤其是那些涉及自复制性质的光学系统，如自再现光学元件或自聚焦系统的设计，具有重要意义。同时，这一理论也为未来在光学工程、信号处理和其他相关领域的应用开辟了新的可能。