高斯过程与正态分布随机变量的性质解析

该资源包含了高斯过程在网络信息理论第六章中的课后习题解答，主要涉及随机变量的性质和正态分布的应用。题目解答详细解释了如何从协方差矩阵推导出随机变量的概率密度函数，并展示了正态分布随机变量线性变换后的概率特性。 在第一题中，讨论的是n维正态分布随机变量的问题。协方差矩阵呈现对角线上元素递减的结构。通过线性变换将原问题简化，变换后的随机变量w的相关矩阵为单位矩阵，表明它们是统计独立的。因此，可以分别计算w的概率密度函数，再利用雅可比行列式转换回原变量x的概率密度函数。最终，给出了x的概率密度函数表达式，是一个多变量正态分布的形式。 第二题涉及到两个统计独立的正态分布随机变量ξ和η，它们有相同的均值和方差。题目要求求解新随机变量U = αξ + βη和V = αξ - βη之间的相关函数以及它们的二维概率密度。由于线性变换后，新变量U和V仍服从正态分布，可以直接计算它们的均值和协方差。相关函数可以通过协方差来得到，二维概率密度则是二维正态分布的表示。 此外，文件还简要提及了第一章的两个习题。第一个习题是关于公交车站乘客登车概率的问题，其中乘客登车行为是独立的伯努利试验，求解特定时刻A车上乘客数的概率分布。第二个习题涉及脉宽调制通信系统，其中信号是由随机脉宽构成的周期信号。要求求解随机过程ξ(t)的一维概率密度函数，这是通过对脉冲宽度的统计特性的分析得出的。 这些习题解答揭示了随机过程在网络信息理论中的应用，包括概率密度函数的计算、随机变量的线性变换、相关函数的求解，以及通信系统中随机信号的建模。这些都是随机过程和信息理论基础课程中的重要概念。