电子科技大学博士生入学试题：线性系统理论答案解析

"这是电子科技大学2006年春季攻读博士学位研究生入学考试的326线性系统理论试题及参考答案。试题涵盖了线性系统的性质分析、状态转移矩阵的证明、双水槽控制系统的动态特性研究以及系统稳定性的讨论。" 在试题中，首先讨论了一个系统是否具有线性、时不变和因果性质。线性性的判断基于系统的输入-输出关系，如果对于任意比例的输入，输出也是相应比例的变化，那么系统就是线性的。在这个例子中，通过计算输入和输出的乘积，证明了系统是线性的。时不变性则关注当输入信号延迟一段时间后，输出是否也相应延迟，这里通过比较延迟前后系统的传递函数，发现其发生了变化，因此系统被确定为时变的。因果性通常指的是系统的输出只依赖于当前及之前的输入，这里的系统符合这一条件，所以它是因果的。 接着，试题要求证明一个状态转移矩阵所满足的等式。状态转移矩阵用于描述系统状态随时间的变化，通过代换和运算，可以验证这个特定的矩阵等式确实成立。 第三个问题涉及一个双水槽控制系统。系统分析包括探讨如何仅用一个调节阀或一个流量计实现对整个系统的控制或测量。对于控制问题，通过构建状态方程并检查能控性矩阵的秩，可以确定仅用一个调节阀是否能实现对两个水槽液位的控制。而观测问题则考察能观测性矩阵的秩，以判断一个测量元件能否监测到系统的全部状态。 最后，试题讨论了一个系统的稳定性，包括BIBO稳定性和渐进稳定性。BIBO稳定性是指系统对所有有限输入的响应都是有界的，而渐进稳定性则意味着系统在扰动后能够收敛到平衡点。题目给出了一个系统模型，并要求考生分析其稳定性，这通常需要计算系统的特征值或者应用Lyapunov稳定性理论。 总结来说，这份试题覆盖了线性系统的基本概念，包括线性性、时不变性、因果性，以及状态空间模型的应用，同时涉及了控制理论中的能控性、能观测性和系统稳定性分析，这些都是线性系统理论中的核心知识点。