数值计算实验：雅可比与高斯—塞德尔迭代解线性方程组

"该实验报告来自云南大学数学与统计学实验教学中心，旨在让学生通过实践了解和比较解线性方程组的两种迭代法——雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法。实验中，学生需要使用C语言编写程序来实现这两种方法，并解决特定的线性方程组，同时观察和比较它们的收敛速度。实验结果显示，高斯-塞德尔方法通常具有更快的收敛速度。" 在数值计算中，解线性方程组是核心问题之一，特别是在大型稀疏矩阵的情况下，迭代法成为首选方法，因为它们在计算效率和内存需求上往往优于直接解法。实验涉及的两种迭代法如下： 1. **雅可比迭代法**： 雅可比迭代法适用于系数矩阵A是对角占优的线性方程组。将矩阵A分解为L（下三角）、D（对角）和U（上三角）三部分，即A = L + D + U。迭代公式为： \[ x^{(k+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j\neq i} a_{ij}x^{(k)}_j \right) \] 其中，\( x^{(k)} \) 表示第k次迭代得到的解向量，\( x^{(k+1)} \) 是下一次迭代的解，\( a_{ij} \) 是矩阵A的元素。 2. **高斯-塞德尔迭代法**： 高斯-塞德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版，它在每次迭代时更新所有分量，而不是等待所有分量都更新完毕。迭代公式为： \[ x^{(k+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j< i} a_{ij}x^{(k+1)}_j - \sum_{j> i} a_{ij}x^{(k)}_j \right) \] 这种方法的优点在于每次迭代都会利用最新计算的结果，从而可能提高收敛速度。 实验过程中，学生需要编写C语言程序，实现上述迭代过程，并设置一个误差阈值（例如 \( \varepsilon \)），当迭代结果满足 \( |x^{(k+1)} - x^{(k)}| < \varepsilon \) 时停止迭代。实验结果表明，尽管雅可比方法的收敛性不总是保证，但当两者都能收敛时，高斯-塞德尔方法通常具有更快的收敛速度，且只需要一组工作单元，算法实现更简洁。 在实际应用中，选择迭代方法时需要考虑线性方程组的特性和问题的具体需求，如矩阵结构、初始猜测的选取、收敛速度和稳定性等因素。此外，还有其他迭代法，如SOR（Successive Over-Relaxation）法等，它们可能会进一步优化收敛性能。