使用双线性变换设计数字巴特沃兹低通滤波器

"该资源是关于数字信号处理的习题，特别是通过双线性变换法设计一个具有特定规格的数字巴特沃兹低通滤波器。习题中提供了详细的设计步骤，包括如何确定模拟滤波器的阶数、利用Matlab的butter函数和bilinear函数来实现滤波器的设计，并给出了滤波器的增益和相位响应的绘制方法。" 在数字信号处理领域，设计滤波器是一项核心任务，本习题涉及的是使用双线性变换法设计一个数字巴特沃兹低通滤波器。双线性变换是一种常用的将模拟滤波器转换为数字滤波器的方法，它保持了滤波器的频率特性，但将其从连续时间域转换到离散时间域。 首先，习题设定了滤波器的规格：0.4dB截止频率为10kHz，30kHz处最小阻带衰减为50dB，抽样率为100kHz。这些参数定义了滤波器的基本性能，例如通带边缘和阻带边缘的频率以及所需的滚降率。 接着，计算了模拟截止频率，这是通过将数字截止频率转换到模拟域来完成的。过渡比的倒数用于确定模拟截止频率，而A和ε的值则根据指定的截止频率和阻带衰减计算得出。在这个例子中，求得ε约为0.3106，A和ε的计算涉及到滤波器的阶数N。 滤波器的阶数N是由滤波器在模拟域的截止频率和滚降率决定的。这里，使用了教材中的公式(4.35)来确定阶数，最终得到N=5。滤波器的截止频率选择通过比较两个不同的公式(4.34a)和(4.34b)来确定，以确保在通带内的失真最小。 接下来，利用Matlab的`butter`函数设计了模拟原型滤波器，得到了滤波器的传递函数，包括零点和极点。在本例中，模拟滤波器没有零点，有四个极点。然后，通过双线性变换将模拟滤波器转换为数字滤波器，取T=2，并使用`bilinear`函数完成这一转换。 最后，设计的数字滤波器的系数显示了出来，即b和a，这些系数可用于实现实际的数字滤波算法，例如在Matlab环境中实现滤波器并绘制其增益和相位响应。 这个习题覆盖了数字滤波器设计的关键步骤，包括理论计算、模拟滤波器设计、双线性变换以及滤波器特性的可视化。对于学习数字信号处理的学生来说，这是一个很好的实践案例。