径向基函数与加权最小二乘法结合的无网格法提升精度与效率

"基于径向基函数的加权最小二乘无网格法是赵敏在河海大学土木系的研究成果，该方法结合了径向基函数插值的优点，如形式简洁、空间维数无关性和满足本质边界条件的能力，以及移动最小二乘插值的高效性和精度。径向基函数插值利用其δ函数特性，可以方便地计算函数及其导数，避免了传统MLS方法中繁琐的计算过程，从而提高计算效率。 传统的无网格法，如移动最小二乘法，虽然在求解过程中表现出色，但由于形函数不满足δ函数性质，施加本质边界条件较为复杂。而径向基函数插值方法在这方面有所改进，使得边界条件的处理更为自然。无单元法作为无网格法的一种，因其无需划分单元，能够提供高精度和快速收敛，广泛应用于多种工程问题的分析，包括弹性静力学、热传导、结构力学等领域。 现有的无网格法在大规模数值计算时遇到挑战，主要是因为全局方法导致的系数矩阵密集，对计算资源消耗较大，而局部支持域方法虽然能提供稀疏矩阵，但可能影响精度。为了解决这一问题，赵敏提出了一种新的无网格方法——基于径向基函数的加权最小二乘法。这种方法通过引入权重，减少了对积分的依赖，降低了计算复杂度，同时保持了较高的精度和稳定性。 相比于基于伽辽金弱式积分的无网格法，这种方法避免了高阶高斯积分带来的大量计算，减轻了计算负担。同时，与配点法相比，尽管加权最小二乘无网格法在初始提出时可能存在精度较低的问题，但通过改进的策略，它能够在保持稳定性的前提下，进一步提升计算性能。 基于径向基函数的加权最小二乘无网格法是一项创新性的技术，它旨在结合无网格法的高效性与精确性，特别是对于大规模和复杂几何形状问题的求解，具有重要的应用潜力。通过优化的无网格表示和权重设计，这种方法有望在未来的工程仿真和数值分析中发挥关键作用。"