ACM程序设计：动态规划与最长有序子序列解法

"本文主要介绍了ACM程序设计中的动态规划思想，通过Fibonacci数的递归实现和优化，以及最长有序子序列和最大子段和的问题来阐述动态规划的应用。" 在ACM程序设计中，动态规划是一种解决复杂问题的有效方法，它通过将问题分解成更小的子问题来求解。首先，我们来看一个简单的例子——Fibonacci数。Fibonacci数列定义为：F(n)=1 当 n=1 或 n=2，对于 n>2，F(n)等于前两个数的和，即 F(n)=F(n-1)+F(n-2)。这种定义非常适合用递归方式来实现： ```cpp int fa(int n) { if (n == 1 || n == 2) return 1; else return fa(n-1) + fa(n-2); } ``` 然而，上述递归实现存在重复计算的问题，效率低下。为了解决这个问题，我们可以使用动态规划的方法，将已计算过的F(n)值存储在一个数组中，避免重复计算： ```cpp int a[100] = {0}; int fa(int n) { if (a[n] != 0) return a[n]; if (n == 1 || n == 2) { a[n] = 1; return a[n]; } else { a[n] = fa(n-1) + fa(n-2); return a[n]; } } ``` 接下来，我们讨论一个思考题——最长有序子序列。给定一个数组，我们需要找到最长的非降序子序列。可以通过动态规划求解，定义F[I]表示以索引I结尾的最长有序子序列的长度。通过遍历数组并更新F[I]，可以得到答案。 另一个思考题是求最大子段和。给定一个包含可能为负数的整数序列，目标是找到连续子序列的最大和。即使所有元素都是负数，最大子段和也定义为0。这个问题可以通过Kadane算法解决，它也是基于动态规划的思想，通过遍历序列，记录当前子序列的和以及全局最大和。 总结来说，这两个思考题与Fibonacci数列问题都体现了动态规划的核心思想：将复杂问题分解为子问题，通过存储和复用子问题的解来提高效率。动态规划在ACM程序设计中占据重要地位，是解决许多复杂问题的关键工具。无论是寻找最长有序子序列还是计算最大子段和，通过合理地构造状态和转移方程，都能高效地解决问题。