2010线性代数真题解析：实对称矩阵特征、秩与方程组

本资源是一份2010年信息学院本科生线性代数课程的期末考试试卷A卷，包含了客观题和行列式计算部分。以下是主要知识点的详细解析： 1. **实对称矩阵的特征根**：题目指出n阶实对称矩阵的特征根必为实数，这是正确的。实对称矩阵的特征值总是实数，因为实对称矩阵的特征多项式是实系数的，根据实数域上的代数性质，其根也为实数。 2. **矩阵秩与线性方程组**：问题中提到，如果矩阵A和B具有相同的秩，那么AX=0与BX=0不一定是同解方程组。这是因为矩阵秩相等仅仅意味着两个方程组能同时有非零解，但并不能保证它们解集完全相同。只有当A和B都满秩时，或者至少有一个矩阵是可逆的，这两个方程组才可能是同解的。 3. **非齐次线性方程组解的空间**：题目表明非齐次线性方程组AX=β的所有解构成R^n的一个子空间，这是错误的。非齐次线性方程组的解集是原方程组的基础解系与特解的并集，它不一定形成一个子空间，因为基础解系构成的向量空间加上特解可能不再满足线性独立的性质。 4. **行列式展开式**：选择题涉及了行列式的展开规则，其中某些项的选择涉及到行列式的符号规则，例如交替符号法则，但具体哪些选项符合规则并未给出，需要根据相关知识分析。 5. **正交向量的运算**：题目测试了正交向量的基本性质，如正交向量的加减运算和数量积的结果，选项D中的表达式不符合正交向量的定义，因此是错误的。 6. **齐次线性方程组的基础解系**：对于齐次线性方程组的解，矩阵A的基础解系与A的秩有关。选项C中的矩阵可以是齐次线性方程组AX=0的基础解系，因为它有非零秩，而其他选项要么秩不足，要么不满足基础解系的定义。 7. **矩阵等价**：两个矩阵等价意味着它们有相同的秩和行列式，但不一定能通过初等变换得到对方。选项C描述的是等价的正确性质。 8. **矩阵特征与秩的关系**：当n阶方阵A与B等价时，它们的秩相等，但这并不意味着秩为0时矩阵就是零矩阵，所以选项A和D错误，选项C正确。 9. **行列式计算**：这部分要求学生计算给定矩阵的行列式，是线性代数中基本的计算技能测试。 通过这些题目，我们可以看到这份试卷涵盖了线性代数中的关键概念，包括特征值、矩阵秩、线性方程组、行列式展开、正交向量以及矩阵等价性。理解这些知识点对于学习和解决线性代数问题至关重要。