哈工大2010集合论与图论期末试题解析

"哈工大2010年春季学期集合论与图论期末试题，包含填空题、简答题，涉及集合运算、映射、偏序关系、图的性质等知识点。" 这篇资料主要涵盖了集合论和图论的基础概念与问题。以下是详细的知识点解释： 1. **集合的基本运算**： - 集合的并：`A \cup B` 表示集合A和B的所有元素的集合。 - 集合的交：`A \cap B` 表示同时属于A和B的元素的集合。 - 集合的差：`A \setminus B` 表示属于A但不属于B的元素的集合。 - 集合的补：`A^c` 或 `B - A` 表示不在集合A中的所有元素组成的集合。 2. **映射**： - 满射：从集合X到集合Y的函数如果每个Y中的元素都有至少一个X中的元素与之对应，称为满射。 - 在题目中提到的`2^n`到`n^2`的满射个数，这是计算组合数的问题，表示从n个不同的元素中取出2个进行排列的组合数。 3. **偏序关系**： - 整除关系“|”是偏序关系，它满足自反性（任何数都能整除自身）、传递性（如果a|b且b|c，则a|c），但不一定是反自反性和对称的。最大元是不存在的，因为没有一个数能被所有其他数整除。 4. **二元关系**： - 关系可以同时不满足多种性质，比如题目中的例子`R={(a,a), (b,c), (c,b), (c,a)}`，它既不是自反也不是反自反，不对称，不反对称，也不传递。 5. **字与集合的关系**： - 字母表`Σ`上的所有字（包括空字）的集合`Σ*`是可数的，因为每个字可以看作是Σ的有限序列，而所有可能的序列构成的集合与自然数的集合一一对应。 6. **无向图**： - 含5个顶点、3条边的不同构的无向图个数为4，通常可以通过画图或使用握手定理（无向图中边的总数是顶点数减1的两倍）来计算。 7. **连通图与生成树**： - 对于一个`p×p`连通图G，至少有3个生成树。生成树是图的一个子集，包含所有顶点且无环，它构成了图的骨架。 8. **图的性质**： - 偶图：每个顶点的度数（连接的边数）都是偶数的图是偶图。题目中的图G不是偶图，因为有的顶点度数为奇数。 - 欧拉图：如果图中每个边恰好出现两次，那么它是欧拉图。图G不是欧拉图，因为存在奇数度的顶点。 - 色数：一个图的色数是指最少需要几种颜色才能使得相邻的顶点颜色不同。图G的色数为4，因为它有一个度数为3的顶点，需要至少4种颜色。 9. **集合的笛卡尔积**： - 笛卡尔积表示的是两个集合所有可能的有序对的集合。题目中展示了笛卡尔积的性质及其证明方法。 10. **简答题**： - 简答题考察了集合等式的证明或反例构造，以及集合的笛卡尔积操作。 这些知识点是集合论和图论的基础，对于理解这两个领域至关重要。通过这类试题，学生可以检验对这些基本概念的理解和应用能力。