深入解析：二叉树、满二叉树与完全二叉树的概念与特性

"深入理解二叉树、满二叉树及完全二叉树的概念，包括结点、二叉树的深度、满二叉树和完全二叉树的特性，以及完全二叉树的线性存储和操作方法。" 在计算机科学中，二叉树是一种非常重要的数据结构，它由若干个结点构成，每个结点最多有两个子结点，分别称为左子结点和右子结点。二叉树的特性使其在搜索、排序、表达树形关系等方面有着广泛的应用。 **2.1 结点** 结点是二叉树的基本组成单元，包含一个数据元素（或值）和两个指向子结点的引用。在代码中，我们可以定义一个Node类来表示结点： ```java class Node<E> { E e; // 数据元素 Node left, right; // 左子结点和右子结点引用 Node(E e) { this.e = e; this.left = null; this.right = null; } } ``` **2.2 二叉树** 二叉树的每个结点的子结点数量最多为两个。二叉树的深度或高度是指从根结点到最远叶子结点的最长路径上的边数。 **2.2.1 二叉树的深度** 二叉树的深度是根据其结构计算的，最大层数即为树的深度。例如，一个只包含根结点的二叉树深度为1，一个包含根结点及其两个子结点的二叉树深度为2，以此类推。 **2.3 满二叉树** 满二叉树是深度为k且有2^k - 1个结点的二叉树，其中每个结点都有两个子结点。满二叉树的特点是所有叶子结点都在同一层，且所有内部结点（非叶子结点）都有两个子结点。 **2.4 完全二叉树** 完全二叉树是深度为k的二叉树，其中k层的结点都是连续靠左并不可隔开的，且1~k-1层的结点也组成了一棵满二叉树。换句话说，如果从上至下、从左至右对完全二叉树的结点进行编号，那么除了最后一层外，每一层都被完全填满，且最后一层的所有结点都尽可能地靠左。 **2.4.1 完全二叉树的线性存储** 完全二叉树可以很方便地用数组来存储。数组的索引对应于二叉树结点的位置。例如，数组下标i对应于二叉树中第i层的结点。对于父结点和子结点的关系，有以下规律： - 父结点i的左子结点位于下标2i - 父结点i的右子结点位于下标2i + 1 这种存储方式简化了访问和操作二叉树的过程，如插入和删除结点。 ```java public class FullBinaryTree { private Object[] arr; private int size; FullBinaryTree(int capacity) { this.arr = new Object[capacity + 1]; this.size = 0; } public int getSize() { return this.size; } public boolean isEmpty() { return this.size == 0; } public void add(Object e, int index) { assert index <= this.arr.length; this.arr[index] = e; this.size++; } // ... } ``` 以上代码展示了如何创建一个完全二叉树的数组存储结构，通过`add`方法可以将结点添加到特定位置。完全二叉树的其他操作，如查找、删除等，都可以基于这种数组表示法进行实现。 理解二叉树、满二叉树和完全二叉树的概念及特性，以及它们的线性存储方式，对于深入学习数据结构和算法，尤其是二叉搜索树、堆等高级主题，具有重要意义。