微分几何课后习题解答：陈维恒版北京大学出版社

"《微分几何》是一本由陈维恒编著的教材，由北京大学出版社出版，包含详细的课后习题答案。本书主要探讨微分几何中的基本概念、理论和方法，通过解决习题来巩固和加深读者对这一领域的理解。" 在微分几何中，向量和向量积起着至关重要的作用。习题解答涉及到以下几个关键知识点： 1. 向量积的性质：证明了向量积的平方和点积的平方之和等于向量模的平方乘积，即(a×b)·(a×b)+(a·b)2=a2b2。这表明向量积与点积之间存在深刻的关系，体现了空间几何中的正交性。 2. 二重向量积的性质：证明了向量的二重积满足交换律和消去律，即a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0。这个性质在处理多向量的运算时非常有用。 3. 拉格朗日恒等式：展示了如何利用该恒等式简化向量积的点乘运算，证明了(b×c)·(a×d)+(c×a)·(b×d)+(a×b)·(c×d)=0。拉格朗日恒等式是微分几何中证明各种恒等式的基础工具。 4. 混合积的性质：证明了混合积的线性和特殊情况下的值，如((a+b),(b+c),(c+a))=2(a,b,c)，这表明混合积满足线性运算的规则，并在特殊情况下可以简化。 5. 混合积与三重向量积的关系：通过拉格朗日恒等式证明了(a×b,c×d,e×f)=(a,b,d)(c,e,f)−(a,b,c)(d,e,f)，揭示了不同向量积之间的内在联系。 6. 垂直向量与三重向量积的性质：当a⊥b时，证明了a×{a×[a×(a×b)]}=a4b，这展示了垂直向量在三重向量积中的特殊性质。 7. 混合积的坐标表示：利用行列式的乘法法则证明了(a1,a2,a3)(b1,b2,b3)的坐标表示形式，强调了向量在坐标系下的运算。 8. 平行平面的几何条件：讨论了三个平面平行于同一条直线的条件，即它们的法向量a、b、c与直线的方向向量v满足某种特定关系，这里给出了解决这类问题的方法。 这些习题解答涵盖了微分几何中向量代数的基本内容，对于学习者来说，理解和掌握这些知识点是深入研究微分几何的基石。通过解题，不仅可以锻炼计算技能，还能提升对几何概念的理解和应用能力。