预处理USSOR迭代法在非奇异M-矩阵中的收敛性分析

"该文主要讨论了在预条件矩阵PS = I + S下，USSOR迭代方法在解决非奇异M-矩阵线性方程组中的应用和收敛性。通过矩阵分裂理论，作者分析了预处理对USSOR迭代法的影响，并给出了比较定理。文章以数值实例验证了理论结果。" 在数值计算领域，迭代法是解决大型稀疏线性方程组的常用手段，尤其是在处理大规模问题时。为了提升迭代法的收敛速度，引入预条件技术是一个有效策略。预条件矩阵PAx = Pb，其中P是对原系数矩阵A的预处理，目的是改善迭代过程的性能。在本文中，研究者专注于非奇异M-矩阵，这是一种特殊的矩阵类型，其所有主子式都是正的，且所有负元素都在下三角区域。 作者提出的预条件矩阵PS = I + S，其中S包含特定的非对角元素，这一选择基于李继成先前的工作。结合USSOR（Upwind Successive Over-Relaxation）迭代方法，该方法通过分离矩阵A为下三角部分-L、上三角部分-U和单位矩阵I来构造迭代矩阵。USSOR迭代矩阵Sω1, ω2的形式涉及松弛参数ω1和ω2，它们影响迭代的收敛行为。 矩阵分裂理论在此处起到了关键作用，它允许我们分解矩阵以分析其特性。通过这种理论，作者能够讨论当系数矩阵A为非奇异M-矩阵时，预条件USSOR迭代法的收敛性质。通过比较定理，可以比较不同预条件下的迭代方法的收敛速率，这为选择合适的预条件提供了理论依据。 文章不仅深入探讨了理论分析，还通过具体的数值例子来直观展示预条件矩阵PS = I + S如何影响USSOR迭代法的收敛。这些数值实验进一步证明了所提出的预处理方法在实际应用中的有效性。 这篇文章为预条件USSOR迭代法提供了新的视角，特别是对于非奇异M-矩阵的处理。它强调了预处理在加速迭代法收敛上的重要作用，并提供了理论工具和实证证据，对于数值线性代数和科学计算领域的研究者具有较高的参考价值。