零钱兑换问题的动态规划求解

资源摘要信息:"LeetCode_No.322_-零钱兑换" ### 题目介绍 该问题是关于零钱兑换的经典动态规划题目。题目的目的是要求编写一个函数，输入为一组不同面额的硬币和一个总金额，输出为组成该总金额所需的最少硬币个数。如果无法用给定的硬币面额组成总金额，则返回-1。值得注意的是，题目假设每种硬币的数量是无限的。 ### 示例分析 1. 当硬币面额为[1, 2, 5]，总金额为11时，最少硬币个数为3（5+5+1）。 2. 当硬币面额为[2]，总金额为3时，由于无法使用2元硬币组合出3元，所以返回-1。 3. 当硬币面额为[1]，总金额为0时，不需要硬币，输出为0。 4. 当硬币面额为[1]，总金额为1时，需要1个硬币，输出为1。 5. 当硬币面额为[1]，总金额为2时，需要2个硬币，输出为2。 ### 解法思路 解决此问题的常用方法是使用动态规划算法。动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。 - **状态定义**：定义一个数组`dp`，其中`dp[j]`表示组成金额`j`所需的最少硬币个数。`dp`的大小为`amount + 1`，索引从1开始，因为`dp[0]`即金额为0时，显然不需要任何硬币，因此`dp[0] = 0`。 - **状态转移方程**：对于每一个金额`i`从1到`amount`，遍历每一种硬币面额`coin`，更新`dp[i]`。如果`i >= coin`，则`dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)`。这表示对于金额`i`，要么不使用当前的硬币面额`coin`，那么`dp[i]`就等于`dp[i]`的值；要么使用这个面额的硬币，那么`dp[i]`就是`dp[i - coin]`加上当前这个硬币的数量（即1）。每次更新都取两者中的较小值。 - **初始化**：`dp[0] = 0`，其余`dp[i]`初始化为一个大于`amount`的数，表示初始时无法用给定的硬币组成金额`i`。 - **返回值**：`dp[amount]`即为答案，表示组成总金额`amount`所需的最少硬币个数。如果`dp[amount]`大于`amount`，则返回-1。 ### 时间复杂度与空间复杂度 - 时间复杂度：O(S*n)，其中S是硬币面额的种类数量，n是总金额`amount`。需要遍历每个面额的所有金额。 - 空间复杂度：O(n)，需要一个长度为`amount + 1`的数组来保存中间结果。 ### 执行用时 示例中提到执行用时为112毫秒，在所有C++提交中击败了若干百分比的用户。执行用时与算法效率、编程语言、运行环境以及代码优化等因素有关。 ### 代码实现 由于文件列表中只有一个名为`LeetCode_No.322_--main`的文件，我们假设这是解决这个问题的主函数。该文件应包含动态规划算法的具体实现，从初始化`dp`数组开始，到最终返回`dp[amount]`的结果结束。 ### 标签说明 该问题的标签为“系统开源”，这可能意味着这个问题和它的解决方案可以被社区成员查看、修改和贡献。在LeetCode这样的平台上，这样的标签通常表明代码是公开的，可以在遵守平台规则的前提下被社区成员查看和学习。 通过以上分析，该问题考察的是对动态规划算法的理解和应用。熟悉动态规划能够帮助解决许多类似的优化问题。